Kern Wiskunde A Deel 2 - Hoofdstuk 12 - Differentiëren oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is onjuist. $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ noemen we het differentiequotiënt. Het differentiaalquotiënt noteren we als $\frac{dy}{dx}$. Deze bewering is juist. Als een grafiek daalt, is de helling negatief.Deze bewering is onjuist. We hebben MOGELIJK te maken met een extreme waarde.  $p(x) = x^3 - 4x^2 + 2$${p}'(x)=3{{x}^{2}}-8x$$q(x) = 2x^5 - 3x^2 + x$${q}'(x)=10{{x}^{4}}-6x+1$$r(x)=7\sqrt{x}=7{{x}^{\frac{1}{2}}}$${r}'(x)=7\cdot \frac{1}{2}{{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{7}{2\sqrt{x}}$$s(x) = 4x^{2{,}3} - 5x^{0{,}4}$${s}'(x)=4\cdot 2,3{{x}^{1,3}}-5\cdot 0,4{{x}^{-0,6}}=9,2{{x}^{1,3}}-2{{x}^{-0,6}}$$t(x)=(x+3)(2x-5)=2{{x}^{2}}+x-15$${t}'(x)=4x+1$$u(x)=\frac{4}{{{x}^{2}}}+5x=4{{x}^{-2}}+5x$${u}'(x)=-8{{x}^{-1}}+5=-\frac{8}{x}+5$$v(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}\cdot \sqrt{x}=\frac{1}{3}{{x}^{3}}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}{{x}^{3\frac{1}{2}}}$${v}'(x)=\frac{7}{6}{{x}^{2\frac{1}{2}}}=\frac{7}{6}{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}=\frac{7}{6}{{x}^{2}}\cdot \sqrt{x}$ $p(x)={{(3x+2)}^{5}}$We herkennen een functie van de vorm $(ax + b)^n$. Gebruik de kettingregel:$p'(x) = 5(3x + 2)^{4} \cdot 3$  (afgeleide van buitenste functie x afgeleide van binnenste) $p'(x) = 15(3x + 2)^4$$q(x)=\sqrt{7x-2{{x}^{2}}}={{(7x-2{{x}^{2}})}^{\tfrac{1}{2}}}$${q}'(x)=\tfrac{1}{2}{{(7x-2{{x}^{2}})}^{-\tfrac{1}{2}}}\cdot (7-4x)$${q}'(x)=\frac{7-4x}{2\sqrt{7x-2{{x}^{2}}}}$$r(x)=4\sqrt{2{{x}^{4}}}+3=4{{\left( 2{{x}^{4}} \right)}^{\tfrac{1}{2}}}+3$${r}'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 4{{\left( 2{{x}^{4}} \right)}^{-\tfrac{1}{2}}}\cdot 8{{x}^{3}}$${r}'(x)=16{{x}^{3}}\cdot {{\left( 2{{x}^{4}} \right)}^{-\tfrac{1}{2}}}$${r}'(x)=\frac{16{{x}^{3}}}{\sqrt{2{{x}^{4}}}}=\frac{16{{x}^{3}}}{\sqrt{2}\cdot {{x}^{2}}}=\frac{16}{\sqrt{2}}\cdot \frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}}=8\sqrt{2}x$ Of $r(x)=4\sqrt{2{{x}^{4}}}+3$Herken dat $\sqrt{2x^4} = \sqrt{2} \, x^2$ (want $\sqrt{2x^4} = \sqrt{2} \cdot x^2$) Dus: $r(x) = 4\sqrt{2} \, x^2 + 3$ $r'(x) = 4\sqrt{2} \cdot 2x = 8\sqrt{2}\, x$$s(x)=\frac{9}{{{(x+4)}^{3}}}=9{{(x+4)}^{-3}}$${s}'(x)=9\cdot (-3){{(x+4)}^{-4}}\cdot 1$${s}'(x)=-27{{(x+4)}^{-4}}$${s}'(x)=-\frac{27}{{{(x+4)}^{4}}}$ $k(x)={{(2x-3)}^{2}}(x+5)$Gebruik de productregel: $(uv)' = u'v + uv'$$u = (2x-3)^2$ en $v = x+5$ $u' = 2(2x-3) \cdot 2 = 4(2x-3)$ $v' = 1$ $k'(x) = 4(2x-3)(x+5) + (2x-3)^2$$m(x)=\frac{5x+2}{{{x}^{2}}-1}$Gebruik de quotiëntregel: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$u = 5x+2$ en $v = x^2-1$$u' = 5$ en $v' = 2x$ $m'(x) = \frac{5(x^2-1) - (5x+2)\cdot 2x}{(x^2-1)^2}$ $= \frac{5x^2-5 - (10x^2 + 4x)}{(x^2-1)^2}$ $= \frac{5x^2-5 - 10x^2 - 4x}{(x^2-1)^2}$ $= \frac{-5x^2 - 4x -5}{(x^2-1)^2}$ $n(x)=\frac{3x-4}{\sqrt{x}}$Schrijf $\sqrt{x}$ als ${{x}^{\tfrac{1}{2}}}$ en gebruik de quotiëntregel.$u = 3x-4$ en $v={{x}^{\tfrac{1}{2}}}$ $u' = 3$ en ${v}'=\frac{1}{2}{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}$ ${n}'(x)=\frac{3{{x}^{\tfrac{1}{2}}}-(3x-4)\frac{1}{2}{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}}{x}$$=\frac{3\sqrt{x}-\frac{1}{2}(3x-4){{x}^{-\tfrac{1}{2}}}}{x}$ $= \frac{3\sqrt{x} - \frac{3x-4}{2\sqrt{x}}}{x}$ ${n}'(x)=\frac{2\sqrt{x}\left( 3\sqrt{x}-\frac{3x-4}{2\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x}\cdot x}=\frac{6x-(3x-4)}{2x\sqrt{x}}$ $p(x)={{\left( \frac{1}{4{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}={{(4{{x}^{2}}+1)}^{-3}}$Gebruik de kettingregel:$p'(x) = -3(4x^2+1)^{-4} \cdot 8x$ $= -24x(4x^2+1)^{-4}$ $= -\dfrac{24x}{(4x^2+1)^4}$ We gaan de GR gebruiken:Invoer: ${{Y}_{1}}=\tfrac{2}{9}{{X}^{2}}-2\tfrac{2}{9}X+21\tfrac{1}{9}$Optie: $dy/dx$ geeft ${{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=6}}=0,44\ldots $${{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=6}}=0,44\ldots >0$, dus de temperatuur neemt toe.Middernacht is 3 uur na 21:00 uur, dus $t=3$.We gaan de GR gebruiken:Invoer: ${{Y}_{1}}=\tfrac{2}{9}{{X}^{2}}-2\tfrac{2}{9}X+21\tfrac{1}{9}$Optie: $dy/dx$ geeft ${{\left[ \frac{dy}{dx} \right]}_{x=3}}=-0,88\ldots $De temperatuur neemt met ongeveer ${{0,89}^{\circ }}{C}/{\text{uur}}\;$ af.$T'\left( t \right)=2\cdot \tfrac{2}{9}t-2\tfrac{2}{9}=\tfrac{4}{9}t-2\tfrac{2}{9}$De minimale temperatuur is een extreme waarde. Deze kunnen we vinden door $T'\left( t \right)=0$ op te lossen.$T'\left( t \right)=0$$\tfrac{4}{9}t-2\tfrac{2}{9}=0$$\tfrac{4}{9}t=2\tfrac{2}{9}$$4t=20$$t=5$We plotten de grafiek van $T$.We zien dat er inderdaad een minimum is bij $t=5$.$t=5$ invullen in de originele formule geeft:$T\left( 5 \right)=\tfrac{2}{9}\cdot {{5}^{2}}-2\tfrac{2}{9}\cdot 5+21\tfrac{1}{9}\approx 14,44$De minimale temperatuur is ${{14,44}^{\circ }}C$ Bij de dalende delen van de grafiek $f$ horen negatieve hellingen. De hellinggrafiek ligt daar dus onder de $x$-as. In de toppen van $f$ is de helling nul. De hellinggrafiek snijdt daar de $x$-as. Tussen de beide toppen is de grafiek van $f$ stijgend. Bij een stijging hoort een positieve helling. Oftewel, de hellinggrafiek ligt daar boven de $x$-as.  $W\left( p \right)=-0,01{{p}^{3}}+1,32{{p}^{2}}-23,1p-539$ geeft ${W}'\left( p \right)=-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1$ $W'\left( 45 \right)=-0,03{{\left( 45 \right)}^{2}}+2,64\left( 45 \right)-23,1=34,95$$W'(45)=34,95>0$, dus de winst neemt toeMaximale winst, dus ${W}'\left( p \right)=0$${W}'\left( p \right)=0$ geeft $-0,03{{p}^{2}}+2,64p-23,1=0$We gaan de GR gebruiken: Invoer: ${{y}_{1}}=-0,01{{x}^{3}}+0,4{{x}^{2}}-1,2x+8$ Optie: Calc $\to $  Nulpunt geeft $x=78,14\cdots $ en $y=944,58\cdots $Uitkomst: De winst is maximaal bij een productie van 78147 en de winst is € 944582. We werken eerst de haakjes weg:$P = t\sqrt{36 + t^2} + 2,2(9 - 5t)= t\sqrt{36 + t^2} + 19,8 - 11t$We berekenen nu de afgeleide. Voor het eerste deel $t\sqrt{36+{{t}^{2}}}$ gebruiken we de productregel: $(uv{)}'={u}'v+u{v}'$Stel $u = t$ en $v=\sqrt{36+{{t}^{2}}}={{(36+{{t}^{2}})}^{\tfrac{1}{2}}}$$u' = 1$ ${v}'=\frac{1}{2}{{(36+{{t}^{2}})}^{-\tfrac{1}{2}}}\cdot 2t=\frac{t}{\sqrt{36+{{t}^{2}}}}$$(uv{)}'={u}'v+u{v}'=1\cdot \sqrt{36+{{t}^{2}}}+t\cdot \frac{t}{\sqrt{36+{{t}^{2}}}}=\sqrt{36+{{t}^{2}}}+\frac{{{t}^{2}}}{\sqrt{36+{{t}^{2}}}}$De afgeleide van $19,8$ is $0$.De afgeleide van $-11t$ is $-11$.Samen: $\frac{dP}{dt} = \sqrt{36 + t^2} + \frac{t^2}{\sqrt{36 + t^2}} - 11$