Toets Wiskunde
Getal en Ruimte 12e ed - Hoofdstuk 7 (havo) - Kwadratische vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden
12e editie
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte 12e ed
- Bij c >0
- Een niet-priemgetal kun je altijd delen door een priemgetal, deze kun je dus ook opschrijven als een product van priemgetallen. Bijvoorbeeld, 15 kun je delen door 3, dan hou je een product van 3 x5 over. 3 en 5 zijn allebei priemgetallen.
- Het kan beide zijn. Bijvoorbeeld: 3a+9a, hierbij zijn de gemeenschappelijke factoren 3 en a.
- 1. Gemeenschappelijke factor buiten de haakjes halen.
- 2. Product-som-methode.
- 1. Rechterlid van het =-teken 0 maken
- 2. Ontbind het linkerlid in factoren
- 3. Gebruik A x B=0 dus, A=0 v B=0
- Je kunt geen wortel nemen van een negatief getal. De wortel is het tegengestelde van een kwadraat. Het kwadraat van 5 en -5 is allebei 25, de wortel van -25 bestaat dus niet.
- Ja, soms moet je ook eerst de gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen voordat je de product-som-methode kunt toepassen.
- a) Zie op het plaatje punt A en B.
- A= x=-2
- B= x= 5
- dus x= -2 v x=5 Tip: teken een lijn op y=10.
- b) Zie op het plaatje punt G en H.
- G= x= 1
- H= x=2
- dus x= 1 v x= 2 Tip: teken een lijn op y=-2.
- c) Zie op het plaatje punt E en F.
- E= x= 0
- F= x= 4
- dus x=0 v x= 4 Tip: kijk waar de groene parabool en de oranje lijn elkaar snijden.
- d) Zie op het plaatje punt C en D
- C= x=-1
- D= x=3
- dus x=-1 v x=3 Tip: kijk waar de groene parabool en de blauwe lijn elkaar snijden.
- a) 3x2=2433x^2= 2433x2=243
| 3x23x^23x2 | =243 | |
| :3 | :3 | Delen wat voor de x staat |
| x2x^2x2 | =81 | |
| \sqrt{} | \sqrt{} | Worteltrekken van een kwadraat |
| x | =9 v -9 |
- b) x2−23=26x^2-23=26x2−23=26
| x2−23x^2-23x2−23 | =26 | |
| +23 | +23 | Alle lossen naar één kant |
| x2x^2x2 | =49 | |
| \sqrt{} | \sqrt{} | Worteltrekken van een kwadraat |
| x | =7 v -7 |
- c) x2+12=24x^2+12=24x2+12=28
| x2+12x^2+12x2+12 | =28 | |
| -12 | -12 | Alle lossen naar één kant |
| x2x^2x2 | =16 | |
| $\sqrt{}$ | $\sqrt{}$ | Worteltrekken van een kwadraat |
| x | =4 v -4 |
- a) $7x-21xyz$
- Stap 1: x buiten de haakjes halen. $x(7-21yz)$
- Stap 2: 7 buiten de haakjes halen. $7x(1-3yz)$ Let op! 7:7 =1 dus 1-3yz
Tip: ga op zoek naar de gemeenschappelijke deler.
- b) $3ab-9ac$
- Stap 1: a buiten de haakjes halen $a(3b-9c)$
- Stap 2: 3 buiten de haakjes halen. $3a(b-3c)$
- c) $4x^3+12xz$
- Stap 1: x buiten haakjes halen.
$x(4x^2+12z)$
Tip: want er staat eigenlijk: $4 \cdot x \cdot x \cdot x + 12xz$. - Stap 2: 4 buiten haakjes halen. $4x(x^2+3z)$
- Stap 1: x buiten haakjes halen.
$x(4x^2+12z)$
- d)$10y^5-6y^3+12y^7$
- Stap 1: Zoveel mogelijk y-en buiten de haakjes halen. Tip zie som c $y^3(10y^2-6+12y^4)$
- Stap 2: 2 buiten haakjes halen.
- $2y^3(5y^2-3+6y^4)$
- a) Deel eerst zo vaak mogelijk door het kleinste priemgetal, 2, daarna 3, etc.
| 84 | :2 |
| 42 | :2 |
| 21 | :3 |
| 7 | - |
- Antwoord: 84 = 2 x 2 x 3 x 7= 222^222 x 3 x 7
- b) Deel eerst zo vaak mogelijk door het kleinste priemgetal, 2, daarna 3, etc.
| 273 | :3 |
| 91 | :7 |
| 13 | - |
- Antwoord: 273 = 3 x 7 x 13
- a) x2−16x−36x^2-16x-36x2−16x−36
- Product van -36 en som van -16
- Tabel van -36
| product | som |
| 1 ×\times×-36 |
-35 |
| -1×\times×36 | 35 |
| 2 ×\times×-18 | -16 |
- Dus x2−16x−36=(x+2)(x−18)x^2-16x-36 =(x+2)(x-18)x2−16x−36=(x+2)(x−18)
- b) x2−5x−50x^2-5x-50x2−5x−50
- Product van -50 en som van -5
- Tabel van -50
| product | som |
| 1 ×\times×-50 | -49 |
| -1 ×\times× 50 | 49 |
| 2 ×\times×-25 | -23 |
| -2 ×\times× 25 | 23 |
| 5 ×\times× -10 | -5 |
- Dus x2−5x−50=(x+5)(x−10)x^2-5x-50=(x+5)(x-10)x2−5x−50=(x+5)(x−10)
- c) 2x2+20x+422x^2+20x+422x2+20x+42
- Eerst 2 buiten haakjes halen, 2(x2+10+21)2(x^2+10+21)2(x2+10+21)
- Product van 21 en som van 10
- Tabel van 21
| product | som |
| 1 ×\times× 21 | 21 |
| 3 ×\times× 7 | 10 |
- Dus 2x2+20x+42=2(x+3)(x+7)2x^2+20x+42 = 2(x+3)(x+7)2x2+20x+42=2(x+3)(x+7) Vergeet de 2 niet!
- a)
- (b-8)(b+3)=0
- b-8=0 v b+3=0
- b=8 v b=-3
- b)
- (3a-9)(a+5)=0
- 3a-9=0 v a+5=0
- 3a=9 v a=-5
- a=3 v a=-5
- c)
- 4x(x-8)=0
- 4x=0 v x-8=0
- x=0 v x=8
- d) x2+2x−24=0x^2+2x-24=0x2+2x−24=0
- Product van -24 en som van 2
- Tabel van -24
| product | som |
| 1 ×\times× -24 | -23 |
| 2 ×\times× -12 | -10 |
| 4 ×\times× -6 | -2 |
| -4 ×\times× 6 | 2 |
- x2+2x−24=(x−4)(x+6)=0x^2+2x-24= (x-4)(x+6)=0x2+2x−24=(x−4)(x+6)=0
- x-4 = 0 v x+6 = 0
- x = 4 v x = -6
- e) x2−8x+16=0x^2-8x+16=0x2−8x+16=0
- Product van 16 en som van -8
- Tabel van 16
| product | som |
| 1 ×\times× 16 | 17 |
| 2 ×\times× 8 | 10 |
| 4 ×\times× 4 | 8 |
| -4 ×\times× -4 | -8 |
- x2−8x+16=(x−4)(x−4)=0x^2-8x+16= (x-4)(x-4)=0x2−8x+16=(x−4)(x−4)=0
- x-4 = 0 v x-4 = 0
- x= 4 v x = 4
- dus x = 4
- a) $2x^2+4x+12=3x^2$
- Eerst alles naar de linker kant, dus doe aan beide kanten: $-3x^2$
- $-x^2+4x+12=0$
- Het is makkelijker om de vergelijking te herschrijven, je wilt dat $x^2$ positief is. Wat je doet is alles wat links staat naar de rechterkant halen.
- $0=x^2-4x-12$ → $x^2-4x-12=0$
- Product van -12 en som van -4
- Tabel van -12
| product | som |
| 1 $\times$ -12 | -11 |
| 2 $\times$ -6 | -4 |
- Dus, $x^2-4x-12= (x+2)(x-6)=0$
- x+2 = 0 v x-6 = 0
- x = -2 v x = 6
- b) $x^2=5x+6$
- Eerst alles naar de linkerkant: -5x-6
- $x^2-5x-6=0$
- Product van -6 en som van -5
- Tabel van -6
| product | som |
| 1 $\times$ -6 | -5 |
- Dus, $x^2-5x-6= (x+1)(x-6)=0$
- x+1 = 0 v x-6 = 0
- x = -1 v x = 6
- c)$x^2-8x=20$
- Eerst alles naar de linkerkant: -20
- $x^2-8x-20$
- Product van -20 en som van -8
- Tabel van -20
| product | som |
| 1 $\times$ -20 | -19 |
| 2 $\times$ -10 | -8 |
- Dus, $x^2-8x-20= (x+2)(x-8)=0$
- x+2 = 0 v x-8 = 0
- x = -2 v x = 8
- Stel de twee formules aan elkaar gelijk.
- $x^2-6x+3=x-3$
- Eerst alles naar de linker kant, doe: -x+3
- $x^2-7x+6=0$
- Product van 6 en som van -7
- Tabel van 6
| product | som |
| 1 $\times$ 6 | 7 |
| -1 $\times$ -6 | -7 |
- Dus, $x^2-7x+6= (x-1)(x-6)=0$
- x-1 = 0 v x-6 = 0
- x=1 v x=6
- Vul de x coördinaat in een van de twee formules, in dit geval is $y=x-3$ makkelijker:
- y = 1-3 v y = 6-3
- y = -2 v y = 3
- Dit geeft coördinaten A (1, -2) en B (6, 3)
- a) Het linker onderdeel van de border is $x(20 – x)$, het vierkante stukje is $x \cdot x$ en het rechter bovendeel is $x(5 – x)$.
- $x(20 – x)+ x \cdot x + x(5 – x) = 20x – x^2 + x^2 + 5x – x^2 = 25x – x^2$
- b) $25x – x^2=100$
- c) $25x – x^2=100$
- Eerst alles naar links, doe: -100
- $25x – x^2-100=0$ $x^2$. Dit positief maken:
- $x^2-25x+100=0$
- Product van 100 en som van -25
- Tabel van 100
| product | som |
| 1 $\times$ 100 | 101 |
| 2 $\times$ 50 | 52 |
| 4 $\times$ 25 | 29 |
| 5 $\times$ 20 | 25 |
| -5 $\times$ -20 | -25 |
- Dus, $x^2-25x+150= (x-5)(x-20)=0$
- x-5 = 0 v x-20 = 0
- x = 5 v x = 20
- d) De breedte van de border is 5 m, 20 m is te groot.
Deze toets bestellen?
Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
- Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.
- Je kunt maandelijks opzeggen.
- Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Wat krijg je bij een abonnement?
- Toegang tot alle vakken
- 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
- Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
- Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
3 maanden ToetsMij
€ 12,99
€ 10,99/mnd
- Voordelig en flexibel. Ideaal als je maar een paar maanden toetsen hoeft te gebruiken.
- Betaal per kwartaal en bespaar hiermee 2 euro per maand.
- Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Wat krijg je bij een abonnement?
- Toegang tot alle vakken
- 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
- Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
- Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
1 jaar ToetsMij
€ 12,99
€ 7,50/mnd
- Favoriete keuze van meer dan 70% van de gebruikers.
- Betaal slechts 90 euro per jaar en bespaar hiermee 65 euro.
- Geniet van een volledig jaar toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Wat krijg je bij een abonnement?
- Toegang tot alle vakken
- 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
- Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
- Geen stress voor het maken van toetsen
Eenvoudig en veilig betalen met iDEAL of creditcard
Waarom ToetsMij?
- Betere schoolresultaten
- Geen stress meer omdat je weet wat je moet doen om je toetsen te halen
- Direct toegang tot antwoorden en uitwerkingen zodat je weet wanneer je klaar bent voor je toets
Heb je nog vragen?
Neem eenvoudig contact met ons op, of kijk bij onze veelgestelde vragen.
Dit zeggen leerlingen en ouders
Cijfers omhoog
Onze zoon had in februari zeker 12 minpunten. Hij is gestart met oefenen via Toets mij en heeft een geweldige eindsprint getrokken en afgelopen week bijna het onmogelijke waargemaakt. Er zijn nog maar 2 minpunten over en nog niet alle toetsen zijn terug. Het heeft onze zoon enorm geholpen, omdat er breed getoetst wordt en de vraagstelling, zoals van hem begrepen, overeenkomt met de toets. Als je de oefentoetsen goed kunt maken, beheers je de stof echt goed!
AP
Fijn dat leerlingen alvast een keer een toets kunnen oefenen die eruit ziet zoals op school.
Wij hebben sinds kort Toetsmij, omdat onze dochter het erg lastig heeft met Wiskunde. Op deze manier kan ze het hoofdstuk oefenen met een toets die qua vraagstelling overeenkomt met de toetsen op school. Nu kan ze dit dus eerst oefenen voordat ze de echte toets moet doen. Als docent Engels die werkt met Of Course en All Right kan ik bevestigen dat de toetsen grotendeels overeenkomen met de vraagwijze van de methode zelf. Dat is dus heel fijn voor leerlingen om te oefenen. We hadden heel even een dingetje met het nakijken, want de uitwerkingen werden niet goed weergegeven. Even een mailtje en binnen een dag reactie en ICT ging meteen aan de slag met het herstellen van de uitwerkingen. Super contact, goede dienstverlening! Aanrader!
Lelani van den Berg
Zéér tevreden!!
Lid geworden voor mijn zoon in leerjaar 1 van (toen 13) inmiddels 15. Hij zit nu in leerjaar 3 HAVO. Elk boek is makkelijk te vinden en alsmede mailt met een probleem omdat hij Duits krijgt uit een boek van leerjaar 2 word dit zelfs op zondag binnen een half uur opgelost en toegevoegd aan ons account! Zo’n toffe service zie je niet vaak meer! Dus wij zijn zéér tevreden. Sinds we het nu weer gebruiken (tijdje niet gebruikt) scoort hij weer voldoendes en zelf voor wiskunde een 8.8!
Linda Ockers
Zoek in meer dan 10.000 toetsen
Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.
