Getal en Ruimte 12e ed - Hoofdstuk 2 - Vlakke meetkunde oefentoetsen & antwoorden

a) Alle punten op een cirkel hebben gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. b) De omtrek van een cirkel is $\pi$ keer zo groot als de diameter van de cirkel. c) De middelloodlijn van twee punten $A$ en $B$ bestaat uit alle punten die even ver van $A$ als van $B$ af liggen. d) De ingeschreven cirkel van een driehoek raakt aan alle zijden van de driehoek. e) De omgeschreven cirkel van een driehoek gaat door alle hoekpunten van de driehoek. f) Een trapezium heeft twee evenwijdige zijden. g) Een ruit heeft vier gelijke zijden. h) De overstaande zijden in een parallellogram zijn even lang en evenwijdig.   De bissectrices gaan door het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek. De middelloodlijnen op de zijden gaan door het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek. Als je de parallellogram met behulp van een diagonaal door midden deelt, ontstaan er twee dezelfde driehoeken. De oppervlakte van zo’n driehoek is $\frac{1}{2}$ x zijde x bijbehorende hoogte. De oppervlakte van de parallellogram is tweemaal zo groot en dus gelijk aan zijde x bijbehorende hoogte. c) In de afbeelding zie je nog een bissectrice getekend, dat is de bissectrice van ∠P\angle P∠P. Het punt waar de twee bissectrices elkaar snijden, is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Teken een lijnstuk loodrecht op de xxx-as en noem het snijpunt met de xxx-as KKK. Zet nu je passerpunt vast in het middelpunt en zet het potlood van de passer in punt KKK : de cirkel die je dan tekent, is de ingeschreven cirkel. Het gebied bestaat uit een rechthoek van 16 bij 7 en een halve cirkel met straal 5.  De oppervlakte van de rechthoek is dus $16 \times 7 = 112$, en De oppervlakte van de halve cirkel is $\tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2 \approx 39.2699$.  Dit moet bij elkaar opgeteld worden, dus dan krijgen we uiteindelijk afgerond  $151,27$ vierkante centimeter.   De omtrek is $7+16+7+6 + \tfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot10 = 51,71$ cm. Tip: gebruik de formule: $Omtrek \, cirkel = 2 \times \pi \times straal$. De oppervlakte van heel het vierkant is $8 \times 8 = 64$ vierkante centimeter. De oppervlakte van de cirkel is $\pi \times 4^2 \approx 50,26548$ vierkante centimeter. Als je dit van elkaar af haalt krijg je $64 - 50,26548 \approx 13,73$ vierkante centimeter. Tip: gebruik de formules voor de oppervlaktes van rechthoeken en cirkels: $Opp. \, rechthoek = lengte \, \times breedte$, en $Opp. \, cirkel = \pi \times straal ^2$. De figuur bestaat uit een kwart cirkel van straal 4 en een trapezium met hoogte 2 en bases 4 en 9.  De oppervlakte is dus: Kwart cirkel: $\tfrac{1}{4}\cdot\pi\cdot 4^2$ + Trapezium: $\tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot (4+9)$  Samen geeft dat voor de oppervlakte $\approx 25,57$ vierkante centimeter.    De omtrek is $2 \times 3,5 + 2 \times 4 + 5 + \tfrac{1}{4}\cdot 8 \cdot \pi = 26,28$ centimeter. Je kunt bijvoorbeeld beginnen met een basis $AB$ van 6 en een hoogte van 4; dan is de oppervlakte automatisch gelijk aan 24.  Omdat de omtrek 24 moet zijn, is er dus nog 10 lengte over voor de twee ‘schuine zijden’. Die moeten dus allebei gelijk aan 5 zijn.  Door bijvoorbeeld een cirkel met straal 5 en middelpunt $A$ te tekenen, wordt een punt $C$ gevonden op de lijn die zich op hoogte 4 bevindt ten opzichte van de lijn door $A$ en $B$. Het lijnstuk $AC$ is dan één van de ontbrekende zijden van het parallellogram, en de laatste zijden kan evenwijdig aan $AC$ worden getekend door $B$. Let op: in deze laatste stap werkt een cirkel tekenen met straal 5 het meest nauwkeurig; dat is dus beter dan het proberen met je geodriehoek.