Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Hoeken en afstanden oefentoetsen & antwoorden

asinα=bsinβ=csinγ\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}sinαa​=sinβb​=sinγc​ Oppervlakte = 12(a+b)h\frac{1}{2}(a+b)h21​(a+b)h Twee zijdes en de ingesloten hoek zijn gegeven, dus gebruik de cosinusregel: $a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos\alpha$ $a^2=5^2+8^2-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos{70^{\circ}}$ $a^2=25+64-80 \cdot \cos{70^{\circ}}=61.638...$ $a=\sqrt{61.638...}=7.8510...$ Afgerond op twee decimalen: $a=7.85$. Met de sinusregel: $\frac{a}{sin\alpha}=\frac{c}{sin\angle ACB}$ $\frac{10}{sin 54}=\frac{9}{sin\angle ACB}$ $sin\angle ACB=\frac{9sin54}{10}=0.7281...$ $\angle ACB= sin^{-1}0.7281... = 46.728...$   Uit de hoekensom formule volgt: $\angle B=180-54-46.728...=79.271...$   Nogmaals de sinusregel om zijde b te berekenen: $\frac{b}{sin79.271...}=\frac{10}{sin54}$ $b=\frac{10sin79.271...}{sin54}=12.144...$   Dan nogmaals de sinusregel om $\angle D$ te berekenen: $\frac{4}{sin19}=\frac{12.144...}{sin\angle D}$ $sin\angle D=\frac{12.144... \cdot sin19}{4}=0.9884...$ $\angle D= sin^{-1} 0.9884... = 81.2928...$ Afgerond op één decimaal: $\angle D=81.3^{\circ}$.  $\frac{1}{2}x\sqrt{3}+\sqrt{10}=0$Haal $\sqrt{10}$ naar de andere kant: $\frac{1}{2}x\sqrt{3}=-\sqrt{10}$$x\sqrt{3}=-2\sqrt{10}$Nu kun je delen door $\sqrt{3}$: $\large x=\frac{-2\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$Vermenigvuldig boven en onder met $\sqrt{3}$ om te vereenvoudigen: $\large x=\frac{-2\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$\large x=\frac{-2\sqrt{30}}{3}$$x=-\frac{2}{3}\sqrt{30}$. Haal $x$ buiten haakjes: $x(\sqrt{3}+\sqrt{5)}=15$Dat geeft: $\large x=\frac{15}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ Noem eerst een zijde $x$. Hier kiezen we voor $BD=x$, want dan is ook gelijk $CD=x$.$\triangle ADC$ is een bijzondere driehoek: de hoeken zijn $30\degree$, $90\degree$ en $60\degree$.De zijden verhouden zich als $1: 2 : \sqrt{3}$.Dan is $AD=x \times \sqrt{3}$.Via zijde $AB$ kunnen we nu een vergelijking maken. We weten namelijk dat $AB= 16$ is (gegeven).Ook kunnen we $AB$ uitdrukken in $x$, want: $AB = AD + DB = x+x\sqrt{3}$.Dat levert de vergelijking:$x+x\sqrt{3} = 16$Die oplossen levert:$x(1+\sqrt{3})=16$ (haal $x$ buiten haakjes)$\large x=\frac{16}{1+\sqrt{3}}$ (deel door $1+\sqrt{3}$).Nu kunnen we $AD$ berekenen:$AD=x \cdot \sqrt{3}$$\large AD=\frac{16\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$. $Opp. \triangle = \frac{1}{2} \cdot zijde \cdot hoogte$.$Zijde  = AB = 16$$Hoogte = CD = x = \frac{16}{1+\sqrt{3}}$Invullen geeft: $Opp. \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{16}{1+\sqrt{3}}=\frac{128}{1+\sqrt{3}}$. We hebben nu te weinig gegevens. Daarom moeten we hulplijnen tekenen om een berekening te kunnen maken. De diagonalen van het trapezium zijn een goede keuze. Daarmee kunnen we hoeken berekenen om vervolgens de hoogte van het parallellogram te vinden, zodat we de oppervlakte kunnen berekenen.Teken de diagonalen en noem het snijpunt $S$:Hiermee gaan we eerst $\angle{BAS}$ berekenen. Omdat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor snijden, geldt: $AS=6,5$ en $BS=4$.Nu weten we in $\triangle ABS$ drie zijden en kunnen we hoeken berekenen met de cosinusregel: $a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)$. Neem voor $\alpha$ hoek $BAS$, dan is $a = BS = 4$, $b=AS = 6,5$ en $c=AB=9$. Invullen en uitwerken geeft:$4^2=6,5^2+9^2-2\cdot 6,5\cdot 9\cdot \cos(\angle BAS)$$16=42,25+81-117\cos(\angle BAS)$$117\cos(\angle BAS)=42.25+81-16 = 107,25$$\cos(\angle BAS)=\frac{107,25}{117}=0,9166…$Dus $\angle BAS=\cos^{-1}(0,9166…) = 23,556…\degree$Dan kunnen we de hoogte $h$ van het parallellogram berekenen. Teken punt $E$ loodrecht onder $C$ op het verlengde van lijnstuk $AB$. Het lijnstuk $CE$ is gelijk aan de hoogte $h$.Bereken de hoogte $h$ van het parallellogram met de sinus in $\triangle AEC$:$\sin(\angle BAS)=\frac{CE}{AC} = \frac{h}{13}$$\sin(23,556…\degree)=\frac{h}{13}$Dus $h=13 \cdot \sin(23,556…\degree)=5,195...$Nu kunnen we de oppervlakte berekenen.$Opp. \ parallellogram = zijde  \cdot bijbehorende \ hoogte$, dus$Opp. \ ABCD = 9 \cdot 5,195...=46,759… \approx 46,8$.