Getal en Ruimte 12e ed - Hoofdstuk 1 - Rekenen met letters oefentoetsen & antwoorden
- a) Onjuist is $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{bd}{ac}$.
- Een tegenvoorbeeld wordt gegeven door $a=1$, $b=2$, $c=1$ en $d=1$, immers geldt $\frac{1}{2} \div \frac{1}{1} = \dfrac{1}{2} \neq 2 = \frac{2\cdot 1}{1\cdot1}.$
- De juiste rekenregel is $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}$ (delen door een breuk is vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk).
- b) Onjuist is $(a+b)^2=a^2+ab+b^2$.
- Een tegenvoorbeeld wordt gegeven door $a=b=1$, immers geldt $(1+1)^2 = 2^2 = 4 \neq 3 = 1^2+1\cdot 1 + 1^2.$
- De juiste rekenregel is $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (de term in het midden moet verdubbeld worden; we spreken ook wel van het dubbele product).
- c) Onjuist is $a^b \cdot a^c = a^b + c$.
- Een tegenvoorbeeld wordt gegeven door $a=2$, $b=1$ en $c=1$, immers geldt $2^1 \cdot 2^1 = 2 \cdot 2 = 4 \neq 3 = 2^1 + 1.$
- De juiste rekenregel is $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$, de exponenten mogen opgeteld worden.
- d) Onjuist is $1^a = a$.
- Neem je bijvoorbeeld $a=2$, dan zou er staan $1^2=2$ en dat is onzin.
- De juiste rekenregel is $1^a = 1$; elke macht van 1 is gelijk aan 1.
- a) Opa Piet gebruikt de rekenregel $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
- b) Bij $49 \times 51$ gebruikt hij $a=50$ en $b=1$, bij $28\times 32$ gebruikt hij $a=30$ en $b=2$.
- Ga maar na:
- $49\times 51 = 50^2-1^2 = 2500 - 1 = 2499$, en
- $28 \times 32 = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896.$
- a) Reken maar uit: $(3^3)^3 = 27^3 = 19683$ en $3^{(3^3)} = 3^{27} \approx 7,\!6\cdot 10^{12}$. Preciezer gezegd is het laatste getal 7.625.597.484.987. Dus als de haakjes `van boven' staan krijgen we een veel grotere uitkomst!
- b) Bij de notatie $3^{3^3}$ is het niet duidelijk welk van de twee antwoorden er wordt bedoeld; ze zijn immers verschillend! In de wiskunde spreken we af dat de haakjes `van boven' staan als ze zijn weggelaten, omdat we in het andere geval al gezien hebben dat we de exponenten mogen vermenigvuldigen.
- Zie de tweede rekenregel bij vraag (1c): $(a^b)^c = a^{bc}$.
- a) $4x(5x-6) = 4x \cdot 5x + 4x\cdot -6 = 20x^2 - 24x$
- b) $(1-2x)(5x-2) = 5x-2-10x^2+4x = -10x^2+9x-2$
- c) $5x-x(1-4x)-4x+1 = 5x - x + 4x^2 -4x+1 = 4x^2+1$
- d) $(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9) =$ $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9 - x-x^2-x^3-x^4-x^5-x^6-x^7-x^8-x^9-x^{10}$ $= 1-x^{10}$
- e) $-2xy+(x+y)^2-(x^2+y^2) = -2xy+x^2+2xy+y^2-x^2-y^2 = 0$
- a) $(8x-3)(8x+3) = 64x^2-9$
- b) $4(x+5)^2=4(x^2+10x+25)=4x^2+40x+100$
- c) $(x-2)(2-x)^2+2 = (x-2)(4-4x+x^2)+2=4x-4x^2+x^3-8+8x-2x^2+2.$
- Dat laatste is te vereenvoudigen tot $x^3-6x^2+12x-6$ door gelijksoortige termen samen te nemen (de hoogste machten schrijven we meestal vooraan).
- d) $(x+y)^3=(x+y)(x^2+2xy+y^2)=x^3+2x^2y+xy^2+yx^2+2xy^2+y^3$.
- Gelijksoortige termen weer samenschrijven geeft $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.
- a) $\dfrac{5}{x}+\dfrac{11}{x} = \dfrac{5+11}{x} = \dfrac{16}{x}$
- b) $\dfrac{15x}{5}-\dfrac{8x^2}{4x} = 3x-2x = x$
- c) $4+\dfrac{5}{y} = \dfrac{4y}{y}+\dfrac{5}{y} = \dfrac{4y+5}{y}$
- d) $\dfrac{20xy}{9}\div \dfrac{4y}{3x} = \dfrac{20xy}{9}\cdot\dfrac{3x}{4y} = \dfrac{60x^2y}{36y} = \dfrac{5x^2}{3}$, ook te schrijven als $\tfrac{5}{3}x^2$
- e) $1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}} = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}} = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)}}} = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{3}}} = $ $1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{\left(\frac{5}{3}\right)}}
= 1+\dfrac{1}{1+\frac{3}{5}} = 1+\dfrac{1}{\left(\frac{8}{5}\right)} = 1+\dfrac{5}{8} = \dfrac{13}{8}$
- Zo'n ingenestelde breuk heet een kettingbreuk en wordt altijd `van onderaf' berekend omwille van de rekenvolgorde; delen gaat vóór optellen! Deze specifieke kettingbreuk heeft trouwens te maken met de gulden snede $\varphi \approx 1.618$, maar dat is weer een heel ander verhaal.
- a) $\dfrac{24(x^3)^6+720x^7}{12x^5} = \dfrac{24x^{18}}{12x^5}+\dfrac{720x^7}{12x^5} = 2x^{13}+60x^2$. Je mag dit ook schrijven als $2x^2(x^{11}+30)$.
- b) $(-3x^2y^3)^4 = (-3)^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4 = 81x^8y^{12}$
- c) $\dfrac{a^2b^3c^4d^5}{abcd}\div(ab^2c^3d^4) = ab^2c^3d^4 \div (ab^2c^3d^4) = \dfrac{ab^2c^3d^4}{ab^2c^3d^4}=1$
- a) De getallen die níet in de wetenschappelijke notatie staan zijn $0,\!99\cdot10^3$ (eerste getal kleiner dan 1) en $80$ (niet vermenigvuldigd met een macht van tien).
- De correcte manieren om deze getallen toch in de wetenschappelijke notatie te schrijven, zijn $9,\!9\cdot10^{12}$ en $8\cdot10^1$.
- b) $1,\!23456789 \cdot 10^4 = 12345,\!6789$ (de komma gaat vier plaatsen naar rechts).
- c)
- Een kubieke inch is $2,\!54^3 = 16,\!387064$ kubieke centimeter.
- Een US gallon is dus 231 keer zo groot, oftewel 3785,411784 kubieke centimeter.
- De tuin bevat $500\times800\times20 = 8000000 = 8\cdot10^6$ kubieke centimeter grond.
- Je hebt dus $ \frac{8\cdot10^6}{3785,\!411784} \approx 2113,\!3764$ US gallons nodig om de tuin te vullen.
- In de gevraagde notatie is dit $2,\!11 \cdot 10^3$ US gallons.
Deze toets bestellen?
- Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.
- Je kunt maandelijks opzeggen.
- Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Wat krijg je bij een abonnement?
- Toegang tot alle vakken
- 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
- Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
- Geen stress voor het maken van toetsen
- Voordelig en flexibel. Ideaal als je maar een paar maanden toetsen hoeft te gebruiken.
- Betaal per kwartaal en bespaar hiermee 2 euro per maand.
- Toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Wat krijg je bij een abonnement?
- Toegang tot alle vakken
- 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
- Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
- Geen stress voor het maken van toetsen
- Favoriete keuze van meer dan 70% van de gebruikers.
- Betaal slechts 90 euro per jaar en bespaar hiermee 65 euro.
- Geniet van een volledig jaar toegang tot alle vakken bij ToetsMij.
Wat krijg je bij een abonnement?
- Toegang tot alle vakken
- 20 kwalitatieve oefentoetsen per maand
- Antwoorden, uitwerkingen en toelichtingen
- Geen stress voor het maken van toetsen
Waarom ToetsMij?
- Betere schoolresultaten
- Geen stress meer omdat je weet wat je moet doen om je toetsen te halen
- Direct toegang tot antwoorden en uitwerkingen zodat je weet wanneer je klaar bent voor je toets
Heb je nog vragen?
Neem eenvoudig contact met ons op, of kijk bij onze veelgestelde vragen.
Dit zeggen leerlingen en ouders
Cijfers omhoog
Onze zoon had in februari zeker 12 minpunten. Hij is gestart met oefenen via Toets mij en heeft een geweldige eindsprint getrokken en afgelopen week bijna het onmogelijke waargemaakt. Er zijn nog maar 2 minpunten over en nog niet alle toetsen zijn terug. Het heeft onze zoon enorm geholpen, omdat er breed getoetst wordt en de vraagstelling, zoals van hem begrepen, overeenkomt met de toets. Als je de oefentoetsen goed kunt maken, beheers je de stof echt goed!
Fijn dat leerlingen alvast een keer een toets kunnen oefenen die eruit ziet zoals op school.
Wij hebben sinds kort Toetsmij, omdat onze dochter het erg lastig heeft met Wiskunde. Op deze manier kan ze het hoofdstuk oefenen met een toets die qua vraagstelling overeenkomt met de toetsen op school. Nu kan ze dit dus eerst oefenen voordat ze de echte toets moet doen. Als docent Engels die werkt met Of Course en All Right kan ik bevestigen dat de toetsen grotendeels overeenkomen met de vraagwijze van de methode zelf. Dat is dus heel fijn voor leerlingen om te oefenen. We hadden heel even een dingetje met het nakijken, want de uitwerkingen werden niet goed weergegeven. Even een mailtje en binnen een dag reactie en ICT ging meteen aan de slag met het herstellen van de uitwerkingen. Super contact, goede dienstverlening! Aanrader!
Zéér tevreden!!
Lid geworden voor mijn zoon in leerjaar 1 van (toen 13) inmiddels 15. Hij zit nu in leerjaar 3 HAVO. Elk boek is makkelijk te vinden en alsmede mailt met een probleem omdat hij Duits krijgt uit een boek van leerjaar 2 word dit zelfs op zondag binnen een half uur opgelost en toegevoegd aan ons account! Zo’n toffe service zie je niet vaak meer! Dus wij zijn zéér tevreden. Sinds we het nu weer gebruiken (tijdje niet gebruikt) scoort hij weer voldoendes en zelf voor wiskunde een 8.8!
Zoek in meer dan 10.000 toetsen
Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.
