Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 1 - Functies en grafieken oefentoetsen & antwoorden

a) $a$ is de richtingscoëfficiënt.$(0,b)$ is het snijpunt met de $y-as$.b) Eerst reken je de discriminant $D$ uit.$D = b^2 - 4ac$Afhankelijk van de grootte van $D$ vind je 2, 1, of geen oplossingen:1) $D>0 \Rightarrow x = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$2) $D = 0 \Rightarrow x = \frac{-b}{2a}$3) $D < 0 \Rightarrow$ geen oplossingen, omdat je geen wortel kunt trekken uit een negatief getal.c) Voorbeeld: $2x^2 - x - 21 = 0$$x^2 - \frac{1}{2}x - 10 \frac{1}{2} = 0$ (delen door 2)$(x-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} - 10 \frac{1}{2} = 0$        *zie toelichting onderaan deze uitwerking.$(x-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} + 10 \frac{1}{2} = \frac{169}{16}$$x- \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \vee x - \frac{1}{4} = -\frac{13}{4}$$x = \frac{14}{4} = 3\frac{1}{2} \vee x = -\frac{12}{4} = -3$*$(x-\frac{1}{4})^2 = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$ hier heb je dus een een kwadraat afgesplitst. a)  $(p,q)$ invullen bij $y = a \cdot x + b$ geeft $q = a \cdot p + b \Rightarrow b = q - a \cdot p$ Dan weer $b$ vervangen in de formule: $y = a \cdot x + q - a \cdot p = a (x-p) + q \Rightarrow a$ buiten haakjes brengen. b) $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ In het bewijs van de $abc-formule$ in opgave 2f (bladzijde 24) zie je dat de vergelijking $ax^2 + bx + c$ herleid wordt tot $(x+ \frac{b}{a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$ Dit betekent voor de functie als je $x_{top} = \frac{-b}{a}$ invult dat $y_{top} = 0 + a \cdot ( - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a})$      * Je vermenigvuldigt $a$ weer omdat je in de vergelijking gedeeld hebt door $a$. * $y_{top} = a \cdot \frac{-b^2}{4a^2} + a \cdot \frac{c}{a} = \frac{-b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = \frac{-(b^2 -4ac)}{4a} = \frac{-D}{4a}$ a) Snijden, dus $S(2,-1)$ op de lijn $l \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 + b = -1 \Rightarrow 1 + b = -1 \Rightarrow b = -2$ b) $P(6,1)$ invullen $\Rightarrow$ $1 = \frac{1}{3}a \cdot 6 - 3a$ $1 = 2a - 3a = -a$ $a = -1$ c)  $rc_n = rc_k = -2$ $n: y = -2 \cdot (x - 1 \frac{1}{2}) - 4$ $y = -2x + 3 - 4$ $y = -2x -1$ Of: $n: y = -2x + b$ $(1 \frac{1}{2}, -4)$ invullen $\Rightarrow -4 = -2 \cdot 1 \frac{1}{2} + b \Rightarrow b = -1$   a)  $p$ $15$ $17.50$ $q$ $40000$ $30000$ $q = a \cdot p + b$ waarbij $a = \frac{\Delta q}{\Delta p}$ $a = \frac{-10000}{2.5} = -4000$ $q = -4000 \cdot (p-15) + 40000$ (vraag 2a) $q = -4000p + 60000 + 40000$ $q = -4000p + 100000$ b)  Er komt niemand kijken dus $q = 0$ $-4000p + 100000 = 0$ $-4000p = -100000$ $p = \frac{-100000}{-4000} = 25$ Conclusie: bij een prijs van 25 euro zou er niemand komen kijken.   a)  $f(x) = 3x^2 - 5x - 8$ $x_{top} = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{6}$ $D = 25 - 4 \cdot 3 - 8 = 121 \Rightarrow y_{top} = \frac{-121}{12} = -10 \frac{1}{12}$ Op grafiek van $g \Rightarrow$ invullen $-6 \cdot \frac{5}{6} + \frac{1}{12}p = -10\frac{1}{12}$ $\frac{1}{12}p = -5 \frac{1}{12} \Rightarrow p = -61$ b) $(3x - 8) \cdot (x+1) = 3x^2 + 3x - 8x - 8 = 3x^2 - 5x - 8$ en dat is $f(x)$ Nulpunten $f(x) = 0$ $(3x-8)(x+1) = 0$ $3x - 8 = 0 \vee x + 1 = 0$ $x = 2 \frac{2}{3} \vee x = -1$ Normaal kun je de nulpunten natuurlijk ook met de $abc-formule$ berekenen. c)  $f(x) = x-8$ $3x^2 - 5x - 8 = x -8$ $3x^2 - 6x = 0$ $3x(x-2) = 0$ $3x = 0 \vee x -2 = 0$ $x = 0 \vee x =2$ d) $(4x-3)^2 = f(3)$ $(4x-3)^2 = 4$ $4x-3 = 2 \vee 4x-3 = -2$ $4x = 5 \vee 4x = 1$ $x = 1 \frac{1}{4} \vee x = \frac{1}{4}$   a) $3x^2 + px -6 =0$ Een oplossing als $D = 0 \Rightarrow$ $p^2 - 4 \cdot -3 \cdot -6 = 0$ $p^2 - 72 = 0$ $p^2 = 72$ $p = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \vee p = -6\sqrt{2}$ b) $\frac{1}{2}x^2 - 7x + 2p^2 = 0$ Geen oplossingen als $D<0$ $D = 4q - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2p^2 = 4q - 4p^2$ $4q - 4p^2 < 0 \Rightarrow -4p^2 < -4q$ $p^2 > \frac{4q}{4}$ $p < -3 \frac{1}{2} \vee p > 3 \frac{1}{2}$  c) $px^2 + 2px + 5 = 0$ Twee oplossingen als $D >0$ $D = (2p)^2 - 4 \cdot p \cdot 5 = 4p^2 - 20p$ $4p^2 - 20p > 0$ $4p \cdot (p-5) > 0$ ($D=0$ als $p = 0 \vee p = 5$) $p < 0 \vee p > 5$ Uitleg:   a) $x_{top} = \frac{-b}{2a} = \frac{-7p}{-1} = 7p$ $7p$ invullen $\Rightarrow y_{top} = max \, f(7p) = 2$ $-\frac{1}{2}(7p)^2 + 7p \cdot 7p - 2p = 2$ $24\frac{1}{2}p^2 - 2p - 2 = 0$ $D = 4 - 4 \cdot 24\frac{1}{2} \cdot -2 = 200$ $p = \frac{2 + \sqrt{200}}{49} \vee p = \frac{2 - \sqrt{200}}{49}$ $p = \frac{2 + 10 \sqrt{2}}{49} \vee p = \frac{2 - 10\sqrt{2}}{49}$ b) $x_{top} = 7p$ (zie vraag a) $p = \frac{x_{top}}{7} = \frac{1}{7}x_{top}$ Invullen geeft: $y_{top} = -\frac{1}{2}x_{top}^2 + 7 \cdot \frac{1}{7} x_{top} \cdot x_{top} - \frac{2}{7}x_{top}$ $= -\frac{1}{2}x_{top}^2 + x_{top}^2 - \frac{2}{7} \cdot x_{top}$ $= \frac{1}{2}x_{top}^2 - \frac{2}{7}x_{top}$ Dus de formule van de kromme is $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{7}x$