Breuken: optellen, aftrekken en vermenigvuldigen
Op deze pagina leer je hoe je breuken stap voor stap optelt, aftrekt en vermenigvuldigt, hoe je ze gelijknamig maakt, hoe je een uitkomst vereenvoudigt en welke veelgemaakte toetsfouten je kunt voorkomen, met voorbeelden en oefenopgaven inclusief uitwerkingen voor onderbouw vmbo, havo en vwo.
Inhoudsopgave
Samenvatting:
Breuken optellen en aftrekken doe je door eerst de noemers gelijk te maken (gelijknamig maken). Daarna tel je de tellers op of trek je ze af, en de noemer blijft hetzelfde. Vermenigvuldigen is makkelijker: je vermenigvuldigt gewoon teller met teller en noemer met noemer. Hoeven niet gelijknamig te zijn. De truc bij alle bewerkingen: vereenvoudig je antwoord op het einde.
Wat is een breuk?
Een breuk is een manier om een deel van een geheel weer te geven. Een breuk bestaat uit twee delen: de teller (boven de streep) en de noemer (onder de streep).
Een breuk is eigenlijk een deling
breuk = teller ÷ noemer
Voorbeeld: ¾ betekent 3 ÷ 4 = 0,75. Drie van de vier stukken van een geheel. De noemer vertelt je in hoeveel gelijke stukken het geheel is verdeeld; de teller hoeveel van die stukken je hebt. ¾ van een pizza? Dan eet je drie van de vier stukken op.
Belangrijke begrippen
Voordat je gaat rekenen is het belangrijk dat je deze begrippen kent. Verwar ze niet, want daar gaat het op een toets vaak mis.
- Teller: het getal boven de breukstreep. Geeft aan hoeveel stukken je hebt. Bij ⅖ is 2 de teller.
- Noemer: het getal onder de breukstreep. Geeft aan in hoeveel stukken het geheel is verdeeld. Bij ⅖ is 5 de noemer.
- Gelijknamig: breuken met dezelfde noemer. ⅓ en ⅔ zijn gelijknamig (beide noemer 3); ⅓ en ¼ niet.
- Ongelijknamig: breuken met verschillende noemers. Die moet je eerst gelijknamig maken voor je ze kunt optellen of aftrekken.
- Vereenvoudigen: een breuk schrijven met kleinere teller en noemer, zonder de waarde te veranderen. ⁶⁄₈ vereenvoudig je tot ¾ (beide delen door 2).
- Gemengd getal: een geheel getal met een breuk erbij, zoals 2¾. Hetzelfde als ¹¹⁄₄ (alleen anders geschreven).
- Onechte breuk: een breuk waarbij de teller groter is dan de noemer, zoals ⁷⁄₃. Kun je omschrijven naar een gemengd getal: 2⅓.
Breuken gelijknamig maken
Voor optellen en aftrekken moet je breuken eerst gelijknamig maken. Dat doe je in twee stappen:
- Stap 1: bepaal een gemeenschappelijke noemer. De makkelijkste truc: vermenigvuldig de twee noemers met elkaar. Bij ⅓ en ¼ wordt dat 3 × 4 = 12.
- Stap 2: pas elke breuk aan: vermenigvuldig teller én noemer met hetzelfde getal, zodat je de gewenste noemer krijgt. ⅓ × ⁴⁄₄ = ⁴⁄₁₂. ¼ × ³⁄₃ = ³⁄₁₂.
Gelijknamig maken: voorbeeld
⅓ + ¼ → ⁴⁄₁₂ + ³⁄₁₂ = ⁷⁄₁₂
Tip: soms is er een kleinere gemeenschappelijke noemer (het kleinste gemene veelvoud, kgv). Bij ⅙ en ¼ kun je vermenigvuldigen tot 24, maar 12 werkt ook (12 is deelbaar door 6 én 4). Met een kleinere noemer is je antwoord vaak al meteen vereenvoudigd.
Breuken optellen
Optellen kan alleen als de breuken gelijknamig zijn. De regel is dan:
Gelijknamige breuken optellen
a⁄n + b⁄n = (a + b)⁄n
Tellers optellen, noemer blijft gelijk. Voorbeeld: ⅖ + ¹⁄₅ = ³⁄₅. Niet ³⁄₁₀, want de noemer mag je NIET optellen.
Voorbeeld 1: Gelijknamige breuken
Bereken ²⁄₇ + ³⁄₇.
Stap 1: Noemers zijn gelijk (beide 7), dus direct optellen.
Stap 2: Tellers optellen: 2 + 3 = 5.
Stap 3: Noemer blijft 7.
Antwoord: ²⁄₇ + ³⁄₇ = ⁵⁄₇.
Voorbeeld 2: Ongelijknamige breuken
Bereken ⅔ + ¼.
Stap 1: Noemers zijn verschillend (3 en 4). Eerst gelijknamig maken.
Stap 2: Gemeenschappelijke noemer = 3 × 4 = 12. Pas elke breuk aan: ⅔ wordt ⁸⁄₁₂ (× ⁴⁄₄). ¼ wordt ³⁄₁₂ (× ³⁄₃).
Stap 3: Tel op: ⁸⁄₁₂ + ³⁄₁₂ = ¹¹⁄₁₂.
Antwoord: ⅔ + ¼ = ¹¹⁄₁₂. (Niet verder te vereenvoudigen, want 11 is een priemgetal.)
Breuken aftrekken
Aftrekken werkt net zo als optellen. Eerst gelijknamig maken, dan de tellers van elkaar aftrekken.
Gelijknamige breuken aftrekken
a⁄n − b⁄n = (a − b)⁄n
Voorbeeld 3: Aftrekken met ongelijknamige breuken
Bereken ⅘ − ¼.
Stap 1: Gemeenschappelijke noemer = 5 × 4 = 20.
Stap 2: ⅘ = ¹⁶⁄₂₀ (× ⁴⁄₄). ¼ = ⁵⁄₂₀ (× ⁵⁄₅).
Stap 3: Trek af: ¹⁶⁄₂₀ − ⁵⁄₂₀ = ¹¹⁄₂₀.
Antwoord: ⅘ − ¼ = ¹¹⁄₂₀.
Breuken vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen is veel makkelijker dan optellen of aftrekken. Je hoeft NIET gelijknamig te maken. De regel:
Breuken vermenigvuldigen
a⁄b × c⁄d = (a × c)⁄(b × d)
Voorbeeld 4: Twee breuken vermenigvuldigen
Bereken ⅔ × ¾.
Stap 1: Tellers vermenigvuldigen: 2 × 3 = 6.
Stap 2: Noemers vermenigvuldigen: 3 × 4 = 12.
Stap 3: Vereenvoudig: ⁶⁄₁₂ = ½ (beide delen door 6).
Antwoord: ⅔ × ¾ = ½.
Tip: je kunt soms eerst kruislings vereenvoudigen (wegstrepen). Bij ²⁄₉ × ³⁄₄: de 3 in de teller en de 9 in de noemer hebben een gemeenschappelijke deler 3. Streep weg: 3 wordt 1, 9 wordt 3. Dan houd je ²⁄₃ × ¹⁄₄ = ²⁄₁₂ = ⅙. Dat scheelt vereenvoudigen op het einde.
Breuken vereenvoudigen
Een breuk vereenvoudig je door teller én noemer te delen door hetzelfde getal. Dat getal is een gemeenschappelijke deler (idealiter de grootste, de ggd):
Vereenvoudigen door gemeenschappelijke deler
⁸⁄₁₂ = ²⁄₃ (beide delen door 4)
Trucje: zoek tot je geen gemeenschappelijke deler meer vindt. Dan is je breuk volledig vereenvoudigd. ⁸⁄₁₂ kun je delen door 2 (→ ⁴⁄₆), opnieuw door 2 (→ ²⁄₃). Geen deler meer = klaar.
Welke regel gebruik je wanneer?
Deze tabel helpt je beslissen op basis van wat de opgave vraagt:
| Bewerking | Eerst gelijknamig? | Wat doe je? | Voorbeeld |
| Optellen (+) | Ja | Tellers optellen, noemer behouden | ⅓ + ¼ = ⁴⁄₁₂ + ³⁄₁₂ = ⁷⁄₁₂ |
| Aftrekken (−) | Ja | Tellers aftrekken, noemer behouden | ⅔ − ¼ = ⁸⁄₁₂ − ³⁄₁₂ = ⁵⁄₁₂ |
| Vermenigvuldigen (×) | Nee | Teller × teller, noemer × noemer | ⅔ × ¾ = ⁶⁄₁₂ = ½ |
| Delen (÷) | Nee | Vermenigvuldigen met het omgekeerde | ⅔ ÷ ¾ = ⅔ × ⁴⁄₃ = ⁸⁄₉ |
Veelgemaakte fouten
Bij breuken gaan leerlingen op een paar terugkerende plekken onderuit. Let op deze klassiekers:
- Noemers optellen bij gelijknamige breuken. ⅖ + ¹⁄₅ is GEEN ³⁄₁₀, maar ³⁄₅. Bij optellen blijft de noemer hetzelfde, alleen de tellers gaan op.
- Vergeten gelijknamig te maken voor optellen of aftrekken. ⅓ + ¼ is NIET ²⁄₇ (1+1 boven, 3+4 onder). Eerst gelijknamig maken, dan pas optellen.
- Bij vermenigvuldigen wél gelijknamig willen maken. Niet nodig. Bij vermenigvuldigen pak je gewoon teller × teller en noemer × noemer.
- Bij delen vergeten om te keren. Delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde. ⅔ ÷ ¾ = ⅔ × ⁴⁄₃ (en NIET ⅔ × ¾).
- Vergeten te vereenvoudigen. Op een toets wordt vaak verwacht dat je het antwoord in de eenvoudigste vorm geeft. ⁶⁄₁₂ blijft staan = soms punten kosten. Schrijf het als ½.
- Helen vergeten te verwerken. Bij 2⅓ + 1¼ moet je eerst de helen verwerken: 2⅓ = ⁷⁄₃, 1¼ = ⁵⁄₄. Anders gaat je antwoord mis.
Oefenopgaven met uitwerkingen
Vier opgaven, oplopend in moeilijkheid. Probeer ze eerst zelf en check daarna pas de uitwerking. Schrijf altijd je tussenstappen op en vereenvoudig je antwoord op het einde.
Opgave 1: Gelijknamige breuken
Bereken: ³⁄₈ + ⁴⁄₈.
Uitwerking: Beide breuken hebben noemer 8, dus direct optellen: 3 + 4 = 7. Antwoord: ⁷⁄₈. (Niet verder te vereenvoudigen.)
Opgave 2: Ongelijknamig optellen
Bereken: ¾ + ⅖.
Uitwerking: Gemeenschappelijke noemer: 4 × 5 = 20. ¾ = ¹⁵⁄₂₀, ⅖ = ⁸⁄₂₀. Optellen: ¹⁵⁄₂₀ + ⁸⁄₂₀ = ²³⁄₂₀ = 1³⁄₂₀ (omdat 23 > 20 schrijf je het als gemengd getal). Antwoord: 1³⁄₂₀.
Opgave 3: Aftrekken
Bereken: ⅚ − ⅓.
Uitwerking: Gemeenschappelijke noemer = 6 (want 6 is deelbaar door 3). ⅓ = ²⁄₆. Aftrekken: ⅚ − ²⁄₆ = ³⁄₆ = ½ (vereenvoudigd). Antwoord: ½.
Opgave 4: Vermenigvuldigen
Bereken: ⅗ × ¹⁰⁄₁₁.
Uitwerking: Direct vermenigvuldigen: tellers 3 × 10 = 30, noemers 5 × 11 = 55. Vereenvoudig ³⁰⁄₅₅: deel beide door 5 → ⁶⁄₁₁. Antwoord: ⁶⁄₁₁. (Slim alternatief: streep eerst de 5 in de noemer weg tegen de 10 in de teller → ⅗ × ¹⁰⁄₁₁ = 3 × 2 ÷ 11 = ⁶⁄₁₁.)
Meer oefenen met breuken?
Op ToetsMij vind je oefentoetsen over breuken, kommagetallen en procenten op vmbo-, havo- en vwo-niveau, met heldere uitwerkingen bij elke vraag. Aansluitend op Getal en Ruimte, Moderne Wiskunde en Kern Wiskunde, zodat je oefent met sommen die op jouw toets terugkomen.
Bonus: breuken delen
Hoewel deze pagina vooral over optellen, aftrekken en vermenigvuldigen gaat, hoort delen er natuurlijk ook bij. De gouden regel:
Delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde
a⁄b ÷ c⁄d = a⁄b × d⁄c
Voorbeeld: ⅔ ÷ ¼ = ⅔ × ⁴⁄₁ = ⁸⁄₃ = 2⅔. Het omgekeerde van ¼ is ⁴⁄₁ (de teller en noemer wisselen).
Breuken naar decimalen en procenten
Op een toets moet je breuken vaak omschrijven naar decimalen (kommagetallen) of procenten. Deze tabel laat de meest voorkomende zien:
| Breuk | Decimaal | Procent |
| ½ | 0,5 | 50% |
| ⅓ | 0,333.. | 33,3% |
| ¼ | 0,25 | 25% |
| ⅕ | 0,2 | 20% |
| ¾ | 0,75 | 75% |
| ⅖ | 0,4 | 40% |
| ⅛ | 0,125 | 12,5% |
| ⅒ | 0,1 | 10% |
Wil je elke breuk naar decimaal? Deel gewoon de teller door de noemer: ⅗ = 3 ÷ 5 = 0,6. Voor procent vermenigvuldig je het decimaalgetal met 100: 0,6 = 60%.
Veelgestelde vragen
Wat zijn teller en noemer?
De teller is het getal boven de breukstreep, de noemer is het getal eronder. Bij de breuk ⅖ is 2 de teller en 5 de noemer. De noemer zegt in hoeveel stukken het geheel is verdeeld, de teller hoeveel daarvan je hebt.
Moet je bij vermenigvuldigen breuken gelijknamig maken?
Nee, dat hoeft NIET. Bij vermenigvuldigen vermenigvuldig je gewoon teller × teller boven, en noemer × noemer onder. ⅔ × ¼ = ²⁄₁₂ = ⅙. Vereenvoudig daarna als dat kan.
Hoe vereenvoudig je een breuk?
Zoek een getal waar zowel de teller als de noemer door deelbaar zijn (een gemeenschappelijke deler). Deel beide door dat getal. Herhaal tot er geen gemeenschappelijke deler meer is. ¹²⁄₁₈ → deel door 2 → ⁶⁄₉ → deel door 3 → ²⁄₃. Klaar.
Hoe maak je breuken gelijknamig?
Vermenigvuldig de noemers van beide breuken met elkaar (dat wordt de nieuwe gemeenschappelijke noemer). Pas dan beide breuken aan: vermenigvuldig zowel teller als noemer met hetzelfde getal, zodat je de nieuwe noemer krijgt. ⅓ en ¼ worden zo ⁴⁄₁₂ en ³⁄₁₂.
Wat is een gemengd getal?
Een gemengd getal is een geheel getal met een breuk erbij, zoals 2¾. Het is een andere schrijfwijze voor een onechte breuk: 2¾ = ¹¹⁄₄ (want 2 × 4 = 8 en 8 + 3 = 11). Bij rekenen met breuken is het meestal handig om gemengde getallen eerst om te zetten naar onechte breuken.
In welke klas leer je breuken?
Breuken komen voor het eerst aan bod in groep 5 of 6 van de basisschool. In klas 1 van vmbo, havo en vwo wordt het uitgebreid met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken. Op het vmbo blijft het bij die basisbewerkingen; op havo en vwo gebruik je breuken later ook bij algebra, vergelijkingen en wortels.
Dit artikel is geschreven door
Deel deze pagina met je vrienden
Dit zeggen leerlingen en ouders
Toetsmij: de steun in de rug die elk kind verdient
Als ouder wil je maar één ding: dat je kinderen gezien worden, uitgedaagd worden en het vertrouwen krijgen dat ze méér kunnen dan ze zelf soms denken. Voor ons is Toetsmij daarin een gamechanger geweest.
Onze oudste dochter begon ooit op mavo-kader. Een lieve, slimme meid, maar soms onzeker en zoekend naar structuur. Dankzij de toetsen van Toetsmij.....helder, betrouwbaar, precies op niveau en altijd met ruimte om te groeien kreeg ze stap voor stap het vertrouwen dat ze het wél kon.
En hoe.
Ze stroomde door naar de havo, haalde haar diploma en volgt nu op eigen kracht de lerarenopleiding. Dat is niet alleen haar verdienste, maar ook het resultaat van materialen die haar serieus namen en haar lieten zien waar ze stond en waar ze naartoe kon.
Ook onze jongste dochter profiteert nu van Toetsmij. Ze doet op school al een aantal vakken op hoger niveau, en juist daar is Toetsmij een uitkomst. De toetsen sluiten perfect aan, dagen uit zonder te overweldigen en geven precies de feedback die ze nodig heeft om verder te groeien.
Het voelt alsof er iemand meedenkt, iemand die begrijpt dat elk kind anders leert en dat kwaliteit het verschil maakt.
Wat Toetsmij voor ons bijzonder maakt:
- Super betrouwbaar, e weet dat de toetsen kloppen, aansluiten en eerlijk meten.
- Meedenkend, het voelt alsof er altijd iemand achter de schermen staat die begrijpt wat leerlingen nodig hebben.
- Topkwaliteit geen rommel, geen gokwerk, maar echt professioneel materiaal waar scholen jaloers op zouden zijn.
Voor ons is Toetsmij niet zomaar een hulpmiddel. Het is een partner in de ontwikkeling van onze kinderen. Een stille kracht die hen helpt groeien, bloeien en boven zichzelf uitstijgen.
En als trotse ouder kan ik maar één ding zeggen:
Dankjewel, Toetsmij. Jullie maken écht het verschil.
Hele fijne en goede ondersteuning bij…
Hele fijne en goede ondersteuning bij de voorbereiding van de middelbare school toetsen. Havo/vwo brugjaren gebruik gemaakt van Toetsmij. Realistische toetsen. Vraag en antwoorden zijn top. Cijfers zijn omhoog gegaan maar ook het begrip van de stof en hoe een toets is opgebouwd. Goede snelle communicatie met de organisatie. Kortom een aanrader!!!
Eindelijk goede punten!
Mijn dochter heeft vorig jaar haar examen vmbo-GT niet gehaald! Dit jaar was dus extra stress! We zijn gewend en zo liep het nu ook weer dat ze het net op het randje vaak net red. Maarja we wilden geen herhaling van vorig jaar! In de laatste maanden hebben we toen toch gekozen voor toetsmij. Sceptisch maar toch wel te proberen. En nu is ze gewoon geslaagd met hoge punten!!!!!
Ik denk dat dat o.a komt omdat ze geen lezer is en daardoor niets bijblijft. Toetsmij is doen. Ik zeg aanrader!!!!
Zoek in meer dan 10.000 toetsen
Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.
