Priemgetallen
Op deze pagina leer je herkennen wat priemgetallen zijn, hoe je met de Zeef van Eratosthenes alle priemgetallen onder een grens vindt, hoe je een getal in priemfactoren ontbindt, en hoe je snel controleert of een specifiek getal priem is, met voorbeelden en oefenopgaven inclusief uitwerkingen voor vmbo, havo en vwo.
Inhoudsopgave
Samenvatting
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf. De eerste tien priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29. Tot 100 zijn er precies 25 priemgetallen. Het getal 1 is geen priemgetal (afspraak), en 2 is het enige even priemgetal, alle andere priemgetallen zijn oneven.
Wat is een priemgetal?
Een priemgetal heeft precies twee delers: 1 en het getal zelf. Geen andere getallen passen erin. Met dat ene criterium kun je elk natuurlijk getal testen.
Definitie van een priemgetal
priemgetal = natuurlijk getal > 1 met precies 2 delers (1 en zichzelf)
Definitie van een samengesteld getal
samengesteld getal = natuurlijk getal > 1 met meer dan 2 delers
Een paar handige feiten om te onthouden: het kleinste priemgetal is 2 (en het is het enige even priemgetal). 1 is per afspraak géén priemgetal. Er bestaan oneindig veel priemgetallen, dat bewees de Griekse wiskundige Euclides al ruim 2.000 jaar geleden.
Lijst van priemgetallen tot 100
Hieronder de 25 priemgetallen onder de 100. Het loont om deze lijst uit je hoofd te leren, op een toets bespaart het je veel rekenwerk.
Alle priemgetallen kleiner dan 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Tussen 100 en 200 komen er nog 21 priemgetallen bij, waaronder 101, 103, 107, 109 en 113. Voor toetsen op vmbo, havo en vwo is de lijst tot 100 voldoende.
Belangrijke begrippen
Voordat je gaat rekenen met priemgetallen is het handig dat je deze begrippen kent.
- Natuurlijk getal : een geheel positief getal: 1, 2, 3, 4, … Priemgetallen zijn altijd natuurlijke getallen.
- Deler : een getal dat een ander getal precies (zonder rest) deelt. De delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12, dus 12 is geen priemgetal.
- Samengesteld getal : elk natuurlijk getal groter dan 1 dat geen priemgetal is. Het kan worden geschreven als product van priemgetallen.
- Priemfactor : een priemgetal dat als deler in een ander getal voorkomt. De priemfactoren van 12 zijn 2 en 3, want 12 = 2 × 2 × 3.
- Priemfactorisatie (priemontbinding) : een getal opschrijven als product van priemfactoren. Elk samengesteld getal heeft precies één priemontbinding (op volgorde na).
- Zeef van Eratosthenes : een methode om alle priemgetallen onder een bepaalde grens te vinden door systematisch veelvouden weg te strepen.
Voorbeeldberekeningen
Hieronder zie je drie uitgewerkte voorbeelden: hoe je test of een getal priem is, hoe je de Zeef van Eratosthenes toepast, en hoe je een getal ontbindt in priemfactoren.
Voorbeeld 1: Is 47 een priemgetal?
Om te controleren of 47 een priemgetal is, probeer je delers te vinden tot aan de wortel van 47 (omdat hogere delers altijd een tegenpaartje hebben onder de wortel).
Stap 1: Bereken √47 ≈ 6,86. Test alleen priemgetallen tot en met 6: dat zijn 2, 3 en 5.
Stap 2: Deelbaarheid testen: 47 ÷ 2 = 23,5 (geen). 47 ÷ 3 = 15,67 (geen). 47 ÷ 5 = 9,4 (geen).
Stap 3: Geen enkele priemdeler gevonden onder √47.
Antwoord: 47 is een priemgetal.
Voorbeeld 2: Zeef van Eratosthenes (priemgetallen tot 30)
Met de Zeef van Eratosthenes vind je alle priemgetallen onder een grens. Werkwijze: schrijf alle getallen op vanaf 2, en streep telkens alle veelvouden weg van het kleinste niet-doorgestreepte getal.
Stap 1: Streep 1 weg (geen priemgetal).
Stap 2: Het eerste niet-doorgestreepte getal is 2 → priem. Streep alle veelvouden van 2 (4, 6, 8, …, 30).
Stap 3: Volgende: 3 → priem. Streep veelvouden van 3 (9, 15, 21, 27).
Stap 4: Volgende: 5 → priem. Streep 25.
Stap 5: Volgende: 7. 7² = 49 > 30, dus alle resterende getallen zijn priem.
Antwoord: de priemgetallen tot 30 zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29.
Voorbeeld 3: Priemfactoren ontbinden (84)
Schrijf 84 als product van priemfactoren. Werkwijze: deel telkens door het kleinste priemgetal dat past, totdat je bij 1 uitkomt.
Stap 1: 84 ÷ 2 = 42. Deel verder: 42 ÷ 2 = 21.
Stap 2: 21 is niet meer deelbaar door 2. Volgende priem: 3. 21 ÷ 3 = 7.
Stap 3: 7 is zelf een priemgetal. Klaar.
Antwoord: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7.
Veelgemaakte fouten
Priemgetallen lijken simpel, maar op een toets gaan leerlingen hier vaak op vaste plekken onderuit. Fouten maken is niet erg, als je weet waar de valkuilen zitten, voorkom je ze de volgende keer. Let op deze klassiekers:
- 1 een priemgetal noemen. Het getal 1 heeft maar één deler (zichzelf), dus het is per definitie geen priemgetal. Begin je lijst altijd met 2.
- 2 als even niet-priem zien. 2 is wél een priemgetal, het is zelfs het enige even priemgetal. De delers zijn 1 en 2, dus precies twee.
- Niet stoppen bij de wortel. Bij de check 'is 47 priem?' hoef je niet alle delers tot 47 te proberen. Test alleen priemgetallen tot √47 ≈ 6,9. Dat scheelt enorm veel tijd.
- Vergeten dat alle priemgetallen > 5 eindigen op 1, 3, 7 of 9. Een getal dat eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8 is deelbaar door 2 (en dus geen priemgetal, behalve 2 zelf). Eindigt het op 5? Dan is het deelbaar door 5 (behalve 5 zelf).
- Bij priemfactor-ontbinding samengestelde getallen gebruiken. 84 = 4 × 21 is geen priemontbinding, want 4 en 21 zijn samengesteld. Deel altijd verder door tot je alleen priemgetallen overhoudt.
Snel zien of een getal priem is
Met deze deelbaarheidsregels filter je in seconden of een getal samengesteld is. Loopt het door alle vier de checks heen, dan is de kans groot dat het priem is.
| Test | Wanneer deelbaar door… | Voorbeeld |
| Eindcijfer 0, 2, 4, 6 of 8 | Deelbaar door 2 | 84 → eindigt op 4 → deelbaar door 2 |
| Som van cijfers deelbaar door 3 | Deelbaar door 3 | 138 → 1+3+8 = 12 → deelbaar door 3 |
| Eindcijfer 0 of 5 | Deelbaar door 5 | 115 → eindigt op 5 → deelbaar door 5 |
| Geen van bovenstaande, en getal < √n geprobeerd | Mogelijk priemgetal | 47 → niet door 2, 3, 5 → priem |
Oefenopgaven met uitwerkingen
Vier opgaven, oplopend in moeilijkheid. Probeer ze eerst zelf en check daarna pas de uitwerking. Schrijf altijd je tussenstappen op.
Opgave 1: Priemgetal of niet?
Welke van deze getallen zijn priemgetallen: 21, 23, 27, 29, 31, 33?
Uitwerking: 21 = 3 × 7 (samengesteld). 23: niet deelbaar door 2, 3 of √23 ≈ 4,8 → priem. 27 = 3 × 9 (samengesteld). 29: niet door 2, 3, 5 (√29 ≈ 5,4) → priem. 31: niet door 2, 3, 5 (√31 ≈ 5,6) → priem. 33 = 3 × 11 (samengesteld). Antwoord: priemgetallen zijn 23, 29 en 31.
Opgave 2: Priemfactoren van 60
Schrijf 60 als product van priemfactoren.
Uitwerking: 60 ÷ 2 = 30. 30 ÷ 2 = 15. 15 ÷ 3 = 5. 5 is priem. Antwoord: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
Opgave 3: Hoeveel priemgetallen tussen 50 en 70?
Hoeveel priemgetallen liggen er tussen 50 en 70 (50 en 70 zelf niet meegerekend)? Geef ze allemaal.
Uitwerking: Test elk getal: 51 = 3×17 (nee). 52 even (nee). 53: niet door 2, 3, 5, 7 (√53 ≈ 7,3) → priem. 54 even. 55 = 5×11. 56 even. 57 = 3×19. 58 even. 59: niet door 2, 3, 5, 7 → priem. 60 even. 61: niet door 2, 3, 5, 7 → priem. 62 even. 63 = 7×9. 64 even. 65 = 5×13. 66 even. 67: niet door 2, 3, 5, 7 → priem. 68 even. 69 = 3×23. Antwoord: 4 priemgetallen, namelijk 53, 59, 61 en 67.
Opgave 4: Priemfactoren bij grotere getallen
Schrijf 252 als product van priemfactoren in machtsvorm.
Uitwerking: 252 ÷ 2 = 126. 126 ÷ 2 = 63. 63 niet door 2 (oneven). 63 ÷ 3 = 21. 21 ÷ 3 = 7. 7 is priem. Antwoord: 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3² × 7.
Veelgestelde vragen
Is 1 een priemgetal?
Nee. Per afspraak in de wiskunde is 1 geen priemgetal. De definitie zegt dat een priemgetal precies twee verschillende delers moet hebben (1 en zichzelf). Bij 1 zijn die twee delers hetzelfde getal, dus er is maar één deler, en dat is te weinig.
Is 2 een priemgetal?
Ja. 2 is het kleinste priemgetal en het enige even priemgetal. De delers zijn 1 en 2, precies twee, dus voldoet aan de definitie. Alle andere even getallen zijn deelbaar door 2 en dus niet priem.
Hoeveel priemgetallen zijn er tot 100?
Er zijn 25 priemgetallen kleiner dan 100. Het zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 en 97.
Wat is het grootste priemgetal?
Dat bestaat niet. Er zijn oneindig veel priemgetallen (bewezen door Euclides, 2.000 jaar geleden). Wel is er een grootst bekend priemgetal, anno nu een Mersenne-priemgetal met meer dan 41 miljoen cijfers, gevonden door computers.
In welke klas leer je priemgetallen?
Priemgetallen komen voor het eerst aan bod in groep 7 of 8 van de basisschool. In klas 1 of 2 van vmbo, havo en vwo wordt het uitgebreid met priemfactoren ontbinden, en op havo en vwo komt het later terug bij ggd, kgv en cryptografie.
Dit artikel is geschreven door
Deel deze pagina met je vrienden
Dit zeggen leerlingen en ouders
Toetsmij: de steun in de rug die elk kind verdient
Als ouder wil je maar één ding: dat je kinderen gezien worden, uitgedaagd worden en het vertrouwen krijgen dat ze méér kunnen dan ze zelf soms denken. Voor ons is Toetsmij daarin een gamechanger geweest.
Onze oudste dochter begon ooit op mavo-kader. Een lieve, slimme meid, maar soms onzeker en zoekend naar structuur. Dankzij de toetsen van Toetsmij.....helder, betrouwbaar, precies op niveau en altijd met ruimte om te groeien kreeg ze stap voor stap het vertrouwen dat ze het wél kon.
En hoe.
Ze stroomde door naar de havo, haalde haar diploma en volgt nu op eigen kracht de lerarenopleiding. Dat is niet alleen haar verdienste, maar ook het resultaat van materialen die haar serieus namen en haar lieten zien waar ze stond en waar ze naartoe kon.
Ook onze jongste dochter profiteert nu van Toetsmij. Ze doet op school al een aantal vakken op hoger niveau, en juist daar is Toetsmij een uitkomst. De toetsen sluiten perfect aan, dagen uit zonder te overweldigen en geven precies de feedback die ze nodig heeft om verder te groeien.
Het voelt alsof er iemand meedenkt, iemand die begrijpt dat elk kind anders leert en dat kwaliteit het verschil maakt.
Wat Toetsmij voor ons bijzonder maakt:
- Super betrouwbaar, e weet dat de toetsen kloppen, aansluiten en eerlijk meten.
- Meedenkend, het voelt alsof er altijd iemand achter de schermen staat die begrijpt wat leerlingen nodig hebben.
- Topkwaliteit geen rommel, geen gokwerk, maar echt professioneel materiaal waar scholen jaloers op zouden zijn.
Voor ons is Toetsmij niet zomaar een hulpmiddel. Het is een partner in de ontwikkeling van onze kinderen. Een stille kracht die hen helpt groeien, bloeien en boven zichzelf uitstijgen.
En als trotse ouder kan ik maar één ding zeggen:
Dankjewel, Toetsmij. Jullie maken écht het verschil.
Hele fijne en goede ondersteuning bij…
Hele fijne en goede ondersteuning bij de voorbereiding van de middelbare school toetsen. Havo/vwo brugjaren gebruik gemaakt van Toetsmij. Realistische toetsen. Vraag en antwoorden zijn top. Cijfers zijn omhoog gegaan maar ook het begrip van de stof en hoe een toets is opgebouwd. Goede snelle communicatie met de organisatie. Kortom een aanrader!!!
Eindelijk goede punten!
Mijn dochter heeft vorig jaar haar examen vmbo-GT niet gehaald! Dit jaar was dus extra stress! We zijn gewend en zo liep het nu ook weer dat ze het net op het randje vaak net red. Maarja we wilden geen herhaling van vorig jaar! In de laatste maanden hebben we toen toch gekozen voor toetsmij. Sceptisch maar toch wel te proberen. En nu is ze gewoon geslaagd met hoge punten!!!!!
Ik denk dat dat o.a komt omdat ze geen lezer is en daardoor niets bijblijft. Toetsmij is doen. Ik zeg aanrader!!!!
Zoek in meer dan 10.000 toetsen
Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.
