Standaardafwijking berekenen
Op deze pagina leer je de standaardafwijking stap voor stap berekenen, hoe hij past in de normale verdeling (de 68-95-99,7 regel) en wanneer je hem gebruikt op havo en vwo, met voorbeelden en oefenopgaven inclusief uitwerkingen.
Inhoudsopgave
Samenvatting
De standaardafwijking (ook wel standaarddeviatie of σ) is een spreidingsmaat die aangeeft hoeveel de waarden in een dataset gemiddeld afwijken van het gemiddelde. Een kleine standaardafwijking betekent: de waarden liggen dicht bij het gemiddelde. Een grote standaardafwijking betekent: de waarden zijn breed verspreid. Je berekent de standaardafwijking met de formule σ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n), oftewel: bereken voor elke waarde het verschil met het gemiddelde, kwadrateer dat verschil, tel alles op, deel door het aantal waarden en trek de wortel.
Formules standaardafwijking
Er zijn twee versies van de standaardafwijking, afhankelijk van of je werkt met een hele populatie of met een steekproef. Op middelbare school gebruik je meestal de populatie-formule (delen door n).
1. Populatie (delen door n)
σ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n)
2. Steekproef (delen door n − 1)
s = √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1))
3. Variantie (standaardafwijking zonder wortel)
variantie = σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
De variantie (σ²) is de standaardafwijking voordat je de wortel trekt. Bij de standaardafwijking trek je de wortel zodat de eenheid weer klopt: liggen de waarden in cm, dan is σ ook in cm (en σ² in cm²). Op havo en vwo gebruik je vooral de populatie-formule met n, tenzij expliciet om een steekproef-standaardafwijking gevraagd wordt.
Stappenplan: standaardafwijking berekenen
De formule ziet er ingewikkeld uit, maar de stappen zelf zijn goed te doen. Volg ze in deze volgorde, schrijf alles in een tabel op je papier.
- Stap 1: bereken het gemiddelde (x̄) van alle waarden: som ÷ aantal.
- Stap 2: bereken voor elke waarde de afwijking van het gemiddelde: x − x̄. Negatieve waarden mogen, die ga je straks toch kwadrateren.
- Stap 3: kwadrateer elke afwijking: (x − x̄)². Alle waarden worden hierdoor positief.
- Stap 4: tel alle gekwadrateerde afwijkingen op: Σ(x − x̄)².
- Stap 5: deel door n (aantal waarden). Je hebt nu de variantie σ².
- Stap 6: trek de wortel: σ = √variantie. Dit is je standaardafwijking.
Tip: maak een tabel met vier kolommen: waarde x, afwijking (x − x̄), kwadraat (x − x̄)², en de som onderaan. Zo voorkom je rekenfouten en kun je elke stap controleren.
Belangrijke begrippen
Voordat je gaat rekenen is het belangrijk dat je deze begrippen kent. Verwar ze niet, want daar gaat het op een toets vaak mis.
- Standaardafwijking (σ of SD): een getal dat aangeeft hoeveel de waarden gemiddeld afwijken van het gemiddelde. In dezelfde eenheid als de oorspronkelijke data.
- Variantie (σ²): het kwadraat van de standaardafwijking. Wordt vooral als tussenstap berekend, niet als eindantwoord.
- Spreiding: een verzamelterm voor hoe ver de waarden uit elkaar liggen. De standaardafwijking en de spreidingsbreedte zijn allebei spreidingsmaten.
- Afwijking (deviatie): het verschil tussen een waarneming en het gemiddelde (x − x̄). Kan positief of negatief zijn.
- Sigma (σ): het Griekse symbool voor standaardafwijking. Op de rekenmachine vaak weergegeven als σx of sx (steekproef).
- Normale verdeling: een klokvormige verdeling waarbij de meeste waarden rond het gemiddelde liggen. De standaardafwijking bepaalt hoe breed of smal de klok is.
Uitgewerkt voorbeeld
Een leerling haalt voor wiskunde de volgende vijf cijfers: 6, 8, 7, 5, 9. Bereken de standaardafwijking. Rond af op één decimaal.
Stap 1: Bereken het gemiddelde
x̄ = (6 + 8 + 7 + 5 + 9) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7. Het gemiddelde is 7.
Stap 2-3: Afwijkingen en kwadraten
Voor elke waarde bereken je het verschil met 7, en kwadrateer dat:
| Waarde x | Afwijking (x − x̄) | Kwadraat (x − x̄)² |
| 6 | 6 − 7 = −1 | 1 |
| 8 | 8 − 7 = 1 | 1 |
| 7 | 7 − 7 = 0 | 0 |
| 5 | 5 − 7 = −2 | 4 |
| 9 | 9 − 7 = 2 | 4 |
| Som | 10 |
Stap 4-6: Som delen door n en wortel
Σ(x − x̄)² = 10. Aantal waarden n = 5. Variantie σ² = 10 ÷ 5 = 2. Standaardafwijking σ = √2 ≈ 1,41.
Antwoord: de standaardafwijking is 1,4. Het gemiddelde wijkt dus per cijfer ongeveer 1,4 punt af.
De 68-95-99,7 regel (normale verdeling)
Bij een normale verdeling (een klokvormige grafiek) heeft de standaardafwijking een bijzondere betekenis. De drie vuistregels die je uit je hoofd moet kennen:
Binnen twee standaardafwijkingen
± 2σ → 95% van de waarden
Binnen drie standaardafwijkingen
± 3σ → 99,7% van de waarden
Voorbeeld: het IQ van mensen volgt een normale verdeling met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Dan ligt 68% van de mensen tussen IQ 85 en 115 (100 ± 15). 95% ligt tussen IQ 70 en 130 (100 ± 2 × 15). En 99,7% ligt tussen IQ 55 en 145.
Veelgemaakte fouten
De standaardafwijking is een meerstaps berekening, dus de fouten stapelen zich snel op. Let op deze klassiekers:
- Vergeten te kwadrateren. Als je de afwijkingen optelt zonder kwadrateren, krijg je 0 (positieve en negatieve afwijkingen heffen elkaar op). Kwadrateren maakt alles positief.
- Wortel vergeten aan het einde. Stop je na het delen door n, dan heb je de variantie, niet de standaardafwijking. Trek altijd de wortel.
- Delen door n in plaats van n − 1 (of andersom). Bij populatie deel je door n. Bij steekproef door n − 1. Op middelbare school gebruik je standaard n, tenzij anders gevraagd.
- Verkeerde rekenmachine-knop. Op je grafische rekenmachine staat σx (populatie) of sx (steekproef). Kies de juiste, anders krijg je een afwijkend antwoord.
- Eenheid vergeten. De standaardafwijking heeft dezelfde eenheid als je oorspronkelijke data. Cijfers in punten? σ ook in punten. Lengtes in cm? σ in cm.
- Te vroeg afronden. Werk met onafgeronde tussenwaarden tot het laatste antwoord. Rond je tussendoor af, dan kan je standaardafwijking flink afwijken.
Oefenopgaven met uitwerkingen
Vier opgaven, oplopend in moeilijkheid. Probeer ze eerst zelf en check daarna pas de uitwerking. Maak altijd een tabel met de vier kolommen: waarde, afwijking, kwadraat, som.
Opgave 1: Basis
Bereken de standaardafwijking van de dataset: 4, 6, 8, 10. Rond af op één decimaal.
Uitwerking: Gemiddelde: (4+6+8+10) ÷ 4 = 7. Afwijkingen: −3, −1, 1, 3. Kwadraten: 9, 1, 1, 9. Som: 20. Variantie: 20 ÷ 4 = 5. σ = √5 ≈ 2,24. Antwoord: standaardafwijking is 2,2.
Opgave 2: Vergelijking van twee datasets
Twee leerlingen, Sam en Lisa, halen elk vijf wiskundecijfers. Sam: 7, 7, 7, 7, 7. Lisa: 4, 6, 7, 8, 10. Bereken voor beiden de standaardafwijking en interpreteer wat het verschil betekent.
Uitwerking: Sam: gemiddelde = 7, alle afwijkingen 0, σ = 0. Lisa: gemiddelde = 7, afwijkingen −3, −1, 0, 1, 3, kwadraten 9, 1, 0, 1, 9, som 20, σ² = 20 ÷ 5 = 4, σ = √4 = 2. Antwoord: Sam heeft σ = 0 (alle cijfers gelijk), Lisa heeft σ = 2 (meer spreiding). Beide hebben hetzelfde gemiddelde, maar Lisa's prestaties zijn veel wisselender.
Opgave 3: Normale verdeling toepassen
De lengte van Nederlandse vrouwen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 170 cm en een standaardafwijking van 7 cm. Welk percentage van de vrouwen heeft een lengte tussen 156 en 184 cm?
Uitwerking: Grenzen: 156 = 170 − 14 = 170 − 2σ. 184 = 170 + 14 = 170 + 2σ. Dus dit is het bereik gemiddelde ± 2σ, en volgens de 68-95-99,7 regel valt daar 95% van de waarden binnen. Antwoord: ongeveer 95% van de Nederlandse vrouwen heeft een lengte tussen 156 en 184 cm.
Opgave 4: Met grafische rekenmachine (havo/vwo)
Een onderzoeker meet de reactietijd (in ms) van zes proefpersonen: 245, 268, 252, 290, 261, 274. Gebruik je rekenmachine om de standaardafwijking te bepalen. Rond af op één decimaal.
Uitwerking: Voer de data in als lijst (L1 of List1) op je rekenmachine. Kies 1-variabele statistiek (1-Var Stats). De rekenmachine geeft x̄ ≈ 265, σx ≈ 14,7 (populatie) en sx ≈ 16,1 (steekproef). Antwoord: standaardafwijking σx ≈ 14,7 ms. Handcontrole: gemiddelde 265, afwijkingen −20, 3, −13, 25, −4, 9, kwadraten 400, 9, 169, 625, 16, 81 (som 1300), variantie 1300 ÷ 6 ≈ 216,7, wortel ≈ 14,7. Klopt.
Wanneer welke spreidingsmaat?
Naast de standaardafwijking zijn er andere spreidingsmaten. Deze tabel helpt je kiezen wanneer je welke gebruikt:
| Spreidingsmaat | Hoe bereken je hem? | Wanneer gebruiken? |
| Spreidingsbreedte | Hoogste − laagste waarde | Snelle indicatie van het bereik. Gevoelig voor uitschieters. |
| Kwartielafstand | Q3 − Q1 | Spreiding van de middelste 50%. Niet gevoelig voor uitschieters. |
| Variantie (σ²) | Σ(x − x̄)² ÷ n | Wiskundige tussenstap. Eenheid is gekwadrateerd, dus minder handig als eindantwoord. |
| Standaardafwijking (σ) | √(variantie) | Meest gebruikte spreidingsmaat. Zelfde eenheid als de data. |
Veelgestelde vragen
Wat is het verschil tussen standaardafwijking en standaarddeviatie?
Geen verschil, het zijn synoniemen. 'Standaarddeviatie' is meer een woordelijke vertaling van het Engelse 'standard deviation', en wordt vaak in statistiek-context gebruikt. Op middelbare scholen in Nederland is 'standaardafwijking' de standaardterm. Beide woorden duiden op hetzelfde getal: σ.
Hoe bereken ik de standaardafwijking met mijn grafische rekenmachine?
Voer de data in als lijst (L1 op Texas Instruments, List1 op Casio). Ga dan naar STAT → CALC → 1-Var Stats (TI) of MENU → Statistics → 1-variable (Casio). De rekenmachine toont meerdere getallen, waaronder x̄ (gemiddelde), σx (populatie-standaardafwijking) en sx (steekproef-standaardafwijking). Welke je nodig hebt, hangt af van de opgave.
Wat betekent een kleine of grote standaardafwijking?
Een kleine standaardafwijking betekent dat de waarden dicht bij het gemiddelde liggen (consistente data). Een grote standaardafwijking betekent dat de waarden ver uit elkaar liggen (variabele data). Voorbeeld: σ = 0 betekent dat alle waarden precies gelijk zijn. σ = 5 betekent dat de waarden gemiddeld 5 eenheden van het gemiddelde verschillen.
Wanneer deel ik door n en wanneer door n − 1?
Bij een populatie (alle gegevens van een groep) deel je door n. Bij een steekproef (een selectie uit een grotere groep) deel je door n − 1, omdat een steekproef de variatie onderschat. Op middelbare school gebruik je vooral n, tenzij in de vraag duidelijk staat dat het om een steekproef gaat.
Wat is de 68-95-99,7 regel?
Bij een normale verdeling ligt 68% van de waarden binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, 95% binnen twee, en 99,7% binnen drie. Een handige vuistregel die je vaak op een toets nodig hebt om percentages te berekenen zonder rekenmachine.
In welke klas leer je standaardafwijking?
De standaardafwijking komt op havo aan bod in klas 4 of 5 (wiskunde A en C), en op vwo in klas 4 of 5 (wiskunde A en C). Daarvoor leer je eerst over centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus) en eenvoudige spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand). De standaardafwijking is de meest geavanceerde spreidingsmaat en wordt vooral gebruikt bij de normale verdeling.
Dit artikel is geschreven door
Deel deze pagina met je vrienden
Dit zeggen leerlingen en ouders
Toetsmij: de steun in de rug die elk kind verdient
Als ouder wil je maar één ding: dat je kinderen gezien worden, uitgedaagd worden en het vertrouwen krijgen dat ze méér kunnen dan ze zelf soms denken. Voor ons is Toetsmij daarin een gamechanger geweest.
Onze oudste dochter begon ooit op mavo-kader. Een lieve, slimme meid, maar soms onzeker en zoekend naar structuur. Dankzij de toetsen van Toetsmij.....helder, betrouwbaar, precies op niveau en altijd met ruimte om te groeien kreeg ze stap voor stap het vertrouwen dat ze het wél kon.
En hoe.
Ze stroomde door naar de havo, haalde haar diploma en volgt nu op eigen kracht de lerarenopleiding. Dat is niet alleen haar verdienste, maar ook het resultaat van materialen die haar serieus namen en haar lieten zien waar ze stond en waar ze naartoe kon.
Ook onze jongste dochter profiteert nu van Toetsmij. Ze doet op school al een aantal vakken op hoger niveau, en juist daar is Toetsmij een uitkomst. De toetsen sluiten perfect aan, dagen uit zonder te overweldigen en geven precies de feedback die ze nodig heeft om verder te groeien.
Het voelt alsof er iemand meedenkt, iemand die begrijpt dat elk kind anders leert en dat kwaliteit het verschil maakt.
Wat Toetsmij voor ons bijzonder maakt:
- Super betrouwbaar, e weet dat de toetsen kloppen, aansluiten en eerlijk meten.
- Meedenkend, het voelt alsof er altijd iemand achter de schermen staat die begrijpt wat leerlingen nodig hebben.
- Topkwaliteit geen rommel, geen gokwerk, maar echt professioneel materiaal waar scholen jaloers op zouden zijn.
Voor ons is Toetsmij niet zomaar een hulpmiddel. Het is een partner in de ontwikkeling van onze kinderen. Een stille kracht die hen helpt groeien, bloeien en boven zichzelf uitstijgen.
En als trotse ouder kan ik maar één ding zeggen:
Dankjewel, Toetsmij. Jullie maken écht het verschil.
Hele fijne en goede ondersteuning bij…
Hele fijne en goede ondersteuning bij de voorbereiding van de middelbare school toetsen. Havo/vwo brugjaren gebruik gemaakt van Toetsmij. Realistische toetsen. Vraag en antwoorden zijn top. Cijfers zijn omhoog gegaan maar ook het begrip van de stof en hoe een toets is opgebouwd. Goede snelle communicatie met de organisatie. Kortom een aanrader!!!
Eindelijk goede punten!
Mijn dochter heeft vorig jaar haar examen vmbo-GT niet gehaald! Dit jaar was dus extra stress! We zijn gewend en zo liep het nu ook weer dat ze het net op het randje vaak net red. Maarja we wilden geen herhaling van vorig jaar! In de laatste maanden hebben we toen toch gekozen voor toetsmij. Sceptisch maar toch wel te proberen. En nu is ze gewoon geslaagd met hoge punten!!!!!
Ik denk dat dat o.a komt omdat ze geen lezer is en daardoor niets bijblijft. Toetsmij is doen. Ik zeg aanrader!!!!
Zoek in meer dan 10.000 toetsen
Echte toetsvragen, precies aansluitend op jouw lesmethode en leerjaar. Voor klas 1 t/m 6 van vmbo-t t/m gymnasium.
