Moderne Wiskunde 13e ed/FLEX deel A - Hoofdstuk 6 - De stelling van Pythagoras oefentoetsen & antwoorden

Dit zijn de zijden die vastzitten aan de rechte hoek. In dit geval zijde $AB, BC, CE$ en $DE$.Dit is de zijde die tegenover de rechte hoek ligt. In dit geval zijde $AC$ en $CD$. De gegeven lengte van de langste zijde is korter dan de lengte van de langste zijde volgens Pythagoras. De driehoek is dus scherphoekig.Antwoord: Scherphoekige driehoek. Stap 1: Zet de afmetingen in het schema, zet altijd de langste zijde onderaan.Stap 2: Bereken de kwadraten van de gegeven zijden.Stap 3: Bereken het kwadraat van de ontbrekende zijde.$KL^2=130-81=49$Stap 4: Neem de wortel om $KL$ te berekenen.$KL=\sqrt{49}=7$Antwoord: $KL=7$ Stap 1: Maak een schets van de situatie. We weten de hoogte van de mast tot de kabel en de afstand van de mast tot het punt waar de kabel vastgezet is. Stap 2: Maak een tabel.Je weet zijden $AB=110$ en $AC=270$, Stap 3: Kwadrateer de zijden die je weet en vul ze in. $AB^2=110^2=12100$$AC^2=270^2=72900$ Stap 4: Tel de rechthoekszijden op, dit is $BC^2$$BC^2=12100+72900=85000$Stap 5: We weten nu de $BC^2$. Het kwadraat werken we weg met de wortel. $BC=\sqrt{85000}\approx 292$Antwoord: De kabel is 292 meter lang. Stap 1: Maak een schets van de situatie. Driehoek $SBD$ is een rechthoekige driehoek, hierin kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken.Stap 2: Gebruik een tabel.Kwadrateer de zijden die je weet. Bereken de ontbrekende zijde.$SB^2=784-361=423$Bereken $SB$ met behulp van de wortel.$SB=\sqrt{423}\approx 20.6$Antwoord: $SB=20.6$ Stap 1:  Zijde $a$ en $b$ zijn de rechthoekszijden, deze zijden liggen namelijk vast aan de rechte hoek.Vul de lengte van de zijden in in de tabel. Stap 2: Gebruik de stelling van Pythagoras.De oppervlakten van de vierkanten aan de rechthoekszijden leveren opgeteld de oppervlakte van het vierkant aan de langste zijde op.We berekenen de oppervlakte van de vierkanten aan de rechthoekszijden, hiervoor doen we de lengte van de zijden in het kwadraat. Er geldt namelijk $oppervlakte\ vierkant=lengte \times breedte$ maar de lengte en breedte van een vierkant zijn hetzelfde, dus we kunnen de lengte van de zijde kwadrateren.Tel de oppervlakten op. De oppervlakte van het vierkant aan de langste zijde is dus 148, maar we willen de lengte van de langste zijde. Hiervoor nemen we de wortel van 148.$c=\sqrt{148}\approx 12.17$Antwoord: $c=12.17$ Stap 1: Maak een schets van de situatie.Teken een driehoek met $\angle Q=90^\circ$.Zet de lengten bij de zijden die je weet. Stap 2: Zet de afmetingen in het schema, zet altijd de langste zijde onderaan.Stap 3: Bereken de kwadraten van de gegeven zijden.Stap 4: Bereken het kwadraat van de ontbrekende zijde.$QR^2=340-144=196$Stap 5: Neem de wortel om $QR$ te berekenen.$QR=\sqrt{196}=14$Antwoord: $QR=14$ Stap 1: Maak een schets en vul in wat je weet. We bekijken eerst driehoek $AMC$. Als we in deze driehoek $AC$ weten gebruiken we $AB=2\cdot AC$.We weten dat de straal 1.30 m is, $MD$ is de straal van de cirkel, $MD=1.30$. $MC=MD-CD$, dus $MC=1.30-30=1$ m.Stap 2: Maak een tabel.Je weet zijde $AM=1.30$ en $CM=1$, zet de langste zijde onderaan in de tabel.  Stap 3: Kwadrateer de zijden die je weet en vul ze in. $MC^2=1^2=1$$AM^2=1.30^2=1.69$Stap 4: Bereken het kwadraat van de onbekende zijde.$AC^2=1.69-1=0.69$Stap 5: We weten nu $AC^2$. Het kwadraat werken we weg met de wortel. $AC=\sqrt{0.69}=0.830…$ (rond niet tussendoor af!)Stap 6: $AB=2\cdot 0.830…\approx 1.66$ (gebruik je antwoord van net in de rekenmachine)Antwoord: $AB$ is 1.66 meter lang. Stap 1: $BG$ ligt in zijvlak $BCGF$. Teken eerst zijvlak $BCGF$. Stap 2: Gebruik een tabel. We weten de twee rechthoekszijden. We kwadrateren ze en vullen ze in. Tel de rechthoekszijden op.$BG^2=16+64=80$We weten nu de $BG^2$. Het kwadraat werken we weg met de wortel. $BG=\sqrt{80}$De lengte van $BG=\sqrt{80}$Gebruik je antwoord bij a. Zorg wel dat je de exacte lengte van $BG$ gebruikt. Stap 1: Maak een schets van doorsnede $ABGH$, hierin ligt $BH$ namelijk.Stap 2: Gebruik een tabel.Kwadrateer de rechthoekszijden.Tel de gekwadrateerde rechthoekszijden op.$BH^2=16+80=96$Bereken $BH$ door de wortel te trekken.$BH=\sqrt{96}\approx 9.8$Antwoord: $BH=9.8$ Stap 1: Maak een schets van de doorsnede. We tekenen doorsnede $ABT$We hebben een extra zijde, $BT$ of $AT$, nodig, om de hoogte $CT$ te berekenen.Om de lengte van zijde $AT$ te berekenen, tekenen we zijvlak $EHT$.Stap 2: Teken zijvlak $EHT$. We berekenen de lengte van $AT$. Omdat de driehoek gelijkbenig is, zijn $AE$ en $AH$ even lang, $AE=3$Stap 3: Gebruik een tabel om de lengte van $AT$ te berekenen.Kwadrateer de bekende zijden.Bereken het kwadraat van de onbekende zijde.$AT^2=18.49-9=9.49$Gebruik de wortel om $AT$ te berekenen.$AT=\sqrt{9.49}$Stap 4: We gaan terug naar doorsnede $ABT$ om de hoogte te berekenen.De driehoek is weer een gelijkbenige driehoek, dus we weten dat $BC=AC=2$.Gebruik een tabel. Bereken het kwadraat van de ontbrekende zijde.$CT^2=9.49-4=5.49$Gebruik de wortel om $CT$ te berekenen.$CT=\sqrt{5.49}\approx 2.34$Antwoord: De hoogte van de piramide is 2.34.  Stap 1: Vul de mogelijke rechthoekszijden in in de tabel. Stap 2: Kwadrateer de mogelijke rechthoekszijden en vul deze in. $AB^2=4^2=16$, vul dit in.$BC^2=8.2^2=67.24$, vul dit in.Stap 3: Tel de rechthoekszijden op, dit is $AC^2$. $AC^2=16+67.24=83.24$Stap 4: We weten nu de $AC^2$. Het kwadraat werken we weg met de wortel. $AC=\sqrt{83.24}\approx 9.1$Antwoord: $AC$ is 9.3 terwijl het volgens Pythagoras 9.1 zou moeten zijn. De gegeven lengte is groter dan de uitkomst volgens Pythagoras, de driehoek is dus stomphoekig.