Moderne Wiskunde 13e ed/FLEX deel B - Hoofdstuk 9 - Lineaire vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

In een schets worden niet alle waarden bij de assen gezet. Een schets bevat alleen noodzakelijke informatie en een tekening is tot in detail uitgewerkt. We zien dat A in detail is uitgewerkt, dit is dus geen schets maar een tekening. B is wel een schets.Antwoord: B $-2$ is kleiner dan $3$Antwoord: $$ Denk aan de balans.Stap 1:  Haal eerst de $2a$ aan de rechterkant weg, als je aan de rechterkant $2a$ weghaalt, moet je dat links ook doen.$7a\red{-2a}+8=2a\red{-2a}+18$  $5a+8=18$Stap 2: Haal vervolgens de losse getallen links weg. Als je aan de linkerkant $8$ weghaalt, moet je dat rechts ook doen.$5a+8\red{-8}=18\red{-8}$$5a=10$Stap 3: Nu links alleen een cijfer en een letter staat en rechts een los getal, kunnen we gaan delen. Om de 5 voor de $a$ weg te krijgen delen we beide kanten door 5. $5a\red{:5}=10\red{:5}$$a=2$Antwoord: $a=2$Tel eerst de gelijksoortige termen op.Stap 1: Neem de gelijksoortige termen samen.Gelijksoortige termen zijn termen waar dezelfde letter achter staat. Aan de linkerkant staan achter de 15 en de 4 beide $a$, deze twee mogen we optellen.$15a+6+4a=3a+12a+18$  $19a+6=3a+12a+18$  Aan de rechterkant staan achter de 3 en de 12 beide $a$, deze mogen we ook optellen.$19a+6=3a+12a+18$  $19a+6=15a+18$  Stap 2: Nu we de gelijksoortige termen samen hebben genomen, kunnen we de balansmethode gebruiken. Haal eerst de $15a$ aan de rechterkant weg, als je aan de rechterkant $5a$ weghaalt, moet je dat links ook doen.$19a\red{-15a}+6=15a\red{-15a}+18$  $4a+6=18$Stap 3: Haal vervolgens de losse getallen links weg. Als je aan de linkerkant $6$ weghaalt, moet je dat rechts ook doen.$4a+6\red{-6}=18\red{-6}$$4a=12$Stap 3: Nu links alleen een cijfer en een letter staat en rechts een los getal, kunnen we gaan delen. Om de 4 voor de $a$ weg te krijgen delen we beide kanten door 4. $4a\red{:4}=12\red{:4}$$a=3$Antwoord: $a=3$ Stap 1: Werk de losse getallen aan de linkerkant weg.Links staat het losse getal $-23$. We werken deze weg door aan beide kanten $+23$ te doen.$2k-23\red{+23}=47\red{+23}$$2k=70$Stap 2: Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat.$2k\red{:2}=70\red{:2}$$k=35$Stap 3: Controleer je oplossing.$2\cdot 35-23=47$$70-23=47$$47=47$ Klopt!Antwoord: $k=35$Stap 1: Werk de losse getallen aan de linkerkant weg.Links staat het losse getal $9$. We werken deze weg door aan beide kanten $-9$ te doen.$9-5a\red{-9}=-86\red{-9}$$-5a=-95$Stap 2: Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat.$-5a\red{:-5}=-95\red{:-5}$$a=19$ (let op $-:-=+$)Stap 3: Controleer je oplossing.$9-5\cdot 19=-86$$9-95=-86$$-86=-86$ Klopt!Antwoord: $a=19$Stap 1: Gebruik de balansmethode. Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-2x+8=3\red{-3x}$, $-3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+3x$ te doen.$-2x\red{+3x}+8=3-3x\red{+3x}$$x+8=3$Stap 2: Vervolgens verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $x\red{+8}=3$ $+8$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-8$ af om deze naar rechts te werken. $x+8\red{-8}=3\red{-8}$$x=-5$Stap 3: Controleer je oplossing.$-2\cdot -5+8=3-3\cdot -5$$10+8=3+15$ (Let op! $-\cdot -=+$)$18=18$Antwoord: $x=-5$ Los eerst de gelijkheid op.Stap 1: Los eerst de gelijkheid op, maak hiervoor van het kleiner of gelijk aan tekentje, $\leq$ dus, een $=$. $7m-13=8$ Stap 2: Haal de losse getallen links weg. $7m\red{-13}=8$, $-13$ is een los getal links, we werken deze links weg door beide kanten $+13$ te doen.$7m-13\red{+13}=8\red{+13}$$7m=21$Stap 3: Deel door het getal dat voor de letter staat.$m=3$Stap 4: Los de ongelijkheid op.Kies een term kleiner dan 3 en vul deze in in de ongelijkheid om te kijken of de oplossingen $m\leq 3$ zijn, 2 is bijvoorbeeld kleiner dan 3. $7\cdot 2-13\leq 8$$14-13 \leq 8$$1 \leq 8$Dit klopt, want 1 is inderdaad kleiner dan 8. De oplossingen zijn dus alle getallen kleiner dan 3.Antwoord: $m\leq 3$Los eerst de gelijkheid op.Stap 1: Los eerst de gelijkheid op, maak hiervoor van het groter dan tekentje, $>$ dus, een $=$. $30-4c=46$Stap 2: Haal de losse getallen links weg. $\red{30}-4c=46$, $30$ is een los getal links, we werken deze links weg door beide kanten $-30$ te doen.$30-4c\red{-30}=46\red{-30}$$-4c=16$Stap 3: Deel door het getal dat voor de letter staat.$c=-4$Stap 4: Los de ongelijkheid op.Kies een term kleiner dan -4 en vul deze in in de ongelijkheid om te kijken of de oplossingen $c< -4$ zijn, $-5$ is bijvoorbeeld kleiner dan $-4$. $30-4\cdot -5>46$$30+20 > 46$$50 > 46$Dit klopt, want 50 is inderdaad groter dan 46. De oplossingen zijn dus alle getallen kleiner dan -4.Antwoord: $c< -4$ Als we $d$ moeten uitdrukken in $c$ betekent dit dat $d$ alleen aan de ene kant van de $=$ moet staan en de rest van de formule aan de andere kant van de $=$. Dus $d=…$Eerst voor formule $c+d=6$Stap 1: Werk alle getallen waar niet $d$ in staat naar rechts.$\red{c}+d=6$, de losse $c$ aan de linkerkant moet dus naar rechts, dit doen we door aan beide kanten $-c$ te doen.$c+d\red{-c}=6\red{-c}$$d=6-c$ Nu is $d$ uitgedrukt in $c$.Nu voor formule $6c-2d=4$Stap 2: Werk eerst alle getallen waar niet $d$ in staat naar rechts.$\red{6c}-2d=4$, $6c$ moet dus naar rechts, dit doen we door aan beide kanten $-6c$ te doen.$6c-2d\red{-6c}=4\red{-6c}$$-2d=4-6c$Stap 3: Om alleen $d$ over te houden aan de linkerkant delen we beide kanten door $-2$.$d=-2+3c$ (Let op dat je elke term deelt door $-2$)Nu staat ook voor deze formule $d$ uitgedrukt in $c$. Stap 4: Nu gaan we het snijpunt van de lijnen zoeken, hiervoor stellen we ze aan elkaar gelijk.$6-c=-2+3c$Stap 5: Haal alle termen met $c$ erin naar links.$6-c=-2\red{+3c}$, de $3c$ moet naar links, dus we doen beide kanten $-3c$.$6-c\red{-3c}=-2+3c\red{-3c}$$6-4c=-2$Stap 6: Haal alle losse termen naar rechts.$\red{6}-4c=-2$, de $6$ aan de linkerkant moet naar de rechterkant, dus we doen beide kanten $-6$.$6-4c\red{-6}=-2\red{-6}$$-4c=-8$Stap 7: Deel beide kanten door $-4$. $c=2$Stap 8: Bereken de $d$-coördinaat die hoort bij $c=2$.Vul hiervoor $c=2$ in in één van de twee formules.$d=6-2=4$Antwoord: Het snijpunt is $(2,4)$ Stap 1: Werk eerst de haakjes uit.$7l+12=-2(3l+7)$$7l+12=-6l-14$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Alle waarden met $l$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$7l+12=\red{-6l}-14$, $-6l$ is een getal met $l$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+6l$ te doen.$7l+12\red{+6l}=-6l-14\red{+6l}$$13l+12=-14$Stap 3: Vervolgens verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $13l\red{+12}=-14$ $+12$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-12$ af om deze naar rechts te werken. $13l+12\red{-12}=-14\red{-12}$$13l=-26$Stap 4:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $13$.$13l\red{:13}=-26\red{:13}$$l=-2$Stap 5: Controleer je oplossing.$7\cdot -2+12=-2(3\cdot -2+7)$$-14+12=-2(-6+7)$$-2=-2(1)$$-2=-2$ Klopt!Antwoord: $l=-2$Stap 1: Werk de haakjes uit.$24-4(w-1)=3(w-14)$$24-4w+4=3w-42$$28-4w=3w-42$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Alle waarden met $w$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$28-4w=\red{3w}-42$ $3w$ is een getal met $w$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-3w$ te doen.$28-4w\red{-3w}=3w-42\red{-3w}$$28-7w=-42$Stap 3: Vervolgens verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $\red{28}-7w=-42$ $28$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $28$ af om deze naar rechts te werken. $28-7w\red{-28}=-42\red{-28}$$-7w=-70$Stap 4:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $-7$.$-7w\red{:-7}=-70\red{:-7}$$w=10$ (let op $-:-=+$)Stap 5: Controleer je oplossing. $24-4(10-1)=3(10-14)$$24-4(9)=3(-4)$$24-36=-12$$-12=-12$ Klopt!Antwoord: $w=10$ Stap 1: Voor het snijpunt van twee lijnen zetten we de formule van de ene lijn aan de ene kant van de $=$ en de formule van de andere lijn aan de andere kant van de $=$. $-2x+8=3-3x$Stap 2: Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-2x+8=3\red{-3x}$, $-3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+3x$ te doen.$-2x+8\red{+3x}=3-3x\red{+3x}$$x+8=3$Stap 3: Vervolgens verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $x\red{+8}=3$ $+8$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-8$ af om deze naar rechts te werken. $x+8\red{-8}=3\red{-8}$$x=-5$Dus de x-coördinaat van het snijpunt is $x=-5$Stap 4: We moeten niet alleen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen maar ook de y-coördinaat. Hiervoor vullen we de x-coördinaat in in één van de twee formules. $x=-5$ in $y=-2x+8$ geeft $y=-2\cdot -5+8$$=10+8=18$$x=-5$ in $y=3-3x$  geeft $y=3-3\cdot -5$$=3+15=18$Dus de y-coördinaat van het snijpunt is $y=18$Je hoeft maar 1 van de twee berekeningen hierboven op te schrijven, uit beide berekeningen komt hetzelfde antwoord.Antwoord: Het snijpunt is $(-5, 18)$ We willen een formule opstellen waarmee we de kosten van de huur kunnen berekenen bij verhuurder A. Stap 1: We willen de kosten in euro’s berekenen, we moeten dit bedrag $b$ noemen. We zetten dus $b$ voor de $=$.$b=…$Stap 2: Als je een boot bij verhuurder A huurt betaal je sowieso 100 euro schoonmaakkosten, ongeacht hoeveel dagen je de boot huurt.$b=100+…$Stap 3: Vervolgens betaal je per dag huur 25 euro. We moesten de letter $a$ voor het aantal dagen nemen.$b=100+25a$Antwoord: $b=100+25a$We willen een formule opstellen waarmee we de kosten van de huur kunnen berekenen bij verhuurder B. Stap 1: We willen de kosten in euro’s berekenen, we moeten dit bedrag $b$ noemen. We zetten dus $b$ voor de $=$.$b=…$Stap 2: Als je een boot bij verhuurder B huurt betaal je sowieso 20 euro administratiekosten, ongeacht hoeveel dagen je de boot huurt.$b=20+…$Stap 3: Vervolgens betaal je per dag 45 euro huur. We moesten de letter $a$ voor het aantal dagen nemen.$b=20+45a$Antwoord: $b=20+45a$Voor het snijpunt stel je de formules aan elkaar gelijk. Stap 1: Zet aan de ene kant van de $=$ de formule van verhuurder A en aan de andere kant van de $=$ de formule van verhuurder B.$100+25a=20+45a$Stap 2: Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Alle waarden met $a$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$100+25a=20+\red{45a}$, $45a$ is een getal met $a$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-45a$ te doen.$100+25a\red{-45a}=20+45a\red{-45a}$$100-20a=20$Stap 3: Vervolgens verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $\red{100}-20a=20$ $100$ is een los getal links. We trekken van beide kanten$-100$ af om deze naar rechts te werken. $100-20a\red{-100}=20\red{-100}$$-20a=-80$$a=4$Stap 4: Vervolgens moeten we nog de tweede coördinaat van het snijpunt berekenen.Hiervoor vullen we de $a$-coördinaat in één van de twee formules.$b=100+25\cdot 4$$b=100+100=200$Als we $a=4$ invullen bij de formule van verhuurder B krijgen we dezelfde uitkomst. $b=20+45\cdot 4$$b=20+180=200$Je hoeft $a=4$ maar in één van de twee formules in te vullen omdat ze dus beide dezelfde uitkomst geven, je mag zelf kiezen welke berekening jij opschrijft.Antwoord: Dus de coördinaten van het snijpunt zijn $(4,200)$Als je de boot vier dagen huurt zijn beide verhuurders even duur, beide kosten ze dan namelijk 200 euro. Maak een schets van beide grafieken.Het startgetal van de formule van verhuurder A is 100. De formule snijdt de $b$-as dus bij 100.Verder stijgt de grafiek, we tekenen dus een stijgende lijn.Het startgetal van verhuurder B is 20. we tekenen dus een startgetal van de tweede lijn onder het startgetal van de lijn van verhuurder A.De lijn van verhuurder B loopt steiler dan die van verhuurder A. Teken dus een steilere lijn.Dankzij de vorige opdracht weten we ook het snijpunt van de grafieken al, deze tekenen we ook. Met behulp van de schets kunnen we nu de vraag beantwoorden. Voor het snijpunt ligt de lijn van verhuurder B lager dan de lijn van verhuurder A. Dus als je de boot minder dan 4 dagen huurt is het goedkoper bij verhuurder B.Antwoord: $a Los eerst de gelijkheid op.Stap 1: We maken van de ongelijkheid eerst een gelijkheid door van de $\geq$ een $=$ te maken. $2x+1=6-3x$Stap 2: Haal alle termen met $x$ erin naar links.$2x+1=6\red{-3x}$, rechts staat $-3x$, deze werken we naar links door beide kanten $+3x$ te doen.$2x+1\red{+3x}=6-3x\red{+3x}$$5x+1=6$Stap 3: Haal alle losse termen naar rechts.$5x\red{+1}=6$, $1$ is een los getal links dat naar rechts moet, we doen beide kanten $-1$$5x+1\red{-1}=6\red{-1}$$5x=5$Stap 4: Deel door het getal dat voor de $x$ staat.$x=1$Stap 5: Los nu de ongelijkheid op met behulp van grafieken. Maak een schets van beide grafieken.$y=2x+1$ start op de y-as bij y=1.Vervolgens stijgt de grafiek. We tekenen een stijgende lijn.$y=6-3x$ start op de y-as bij y=6.De lijn daalt dus we tekenen een dalende lijn die de y-as snijdt in y=6.Ook weten we het snijpunt van de twee lijnen al, deze zetten we ook in de schets.$2x+1\geq 6-3x$, we vragen ons dus af wanneer de blauwe lijn boven de oranje lijn ligt, of wanneer ze gelijk zijn.Na het snijpunt ligt de blauwe lijn boven de oranje lijn en op het snijpunt zijn ze gelijk, dus $x\geq 1$Antwoord: $x\geq 1$Los eerst de gelijkheid op. Stap 1: We maken van de ongelijkheid eerst een gelijkheid door van de $ Stap 1: Om K in L te substitueren moeten we eerst $a$ vrijmaken in K.Als we $a$ willen vrijmaken moet alles behalve $a$ aan de rechterkant van de $=$ staan.$a-5t=9$, $-5t$ moet naar rechts, we doen beide kanten $+5t$$a-5t\red{+5t}=9\red{+5t}$$a=9+5t$Stap 2: Substitueer nu $a=9+5t$ in L. $8-2(9+5t)=13c$ (denk aan de haakjes!)Stap 3: Werk de haakjes weg en neem gelijksoortige termen samen.$8-18-10t=13c$$-10-10a=13c$Antwoord: $-10-10a=13c$